Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc TN THPT và ĐGNL Hà Nội Ngày 11-12/04/2026
 ↪ TN THPT - Trạm 5 (Free) ↪ ĐGNL Hà Nội (HSA) - Trạm 5
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hình lăng trụ OAB.O'A'B'. Biết $O(0;0;0)$, $A(2;0;0)$, $B(0;1;0)$,

Câu hỏi số 945096:
Vận dụng

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hình lăng trụ OAB.O'A'B'. Biết $O(0;0;0)$, $A(2;0;0)$, $B(0;1;0)$, $O'(0;0;3)$.

Đúng Sai
a) Đường thẳng AO' có một véc tơ chỉ phương là: $\overset{\rightarrow}{a} = (2;0; - 3)$.
b) Góc giữa hai đường thẳng O'A' và AB bằng: $56^{{^\circ}}28'$ (làm tròn kết quả đến hàng phút).
c) Mặt phẳng (ABO') có một véctơ pháp tuyến là: $\overset{\rightarrow}{n} = (3;6;2)$.
d) Trong tất cả các mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng AB và OO' thì mặt cầu có bán kính $R = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$ là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong các mặt cầu nói trên.

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:945096
Phương pháp giải

a) Tìm véctơ $\overset{\rightarrow}{AO^{\prime}}$ và kiểm tra xem nó có cùng phương với véctơ $\overset{\rightarrow}{a}$ hay không.

b) Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau. Do tính chất lăng trụ $O'A' \parallel OA$, ta sẽ quy về tính góc giữa OA và AB thông qua công thức cosin của góc giữa hai véctơ $\overset{\rightarrow}{OA}$ và $\overset{\rightarrow}{AB}$.

c) Vì A, B, O' lần lượt nằm trên 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz, ta nên sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$

d) Bán kính R của mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng chéo nhau luôn lớn hơn hoặc bằng một nửa khoảng cách giữa hai đường thẳng đó ($R \geq \dfrac{1}{2}d(d_{1},d_{2})$). Dấu "=" xảy ra khi mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Giải chi tiết

a) Đúng. Ta có: $A(2;0;0)$ và $O'(0;0;3)$.

Véctơ chỉ phương của AO' là $\overset{\rightarrow}{AO^{\prime}} = (x_{O'} - x_{A};y_{O'} - y_{A};z_{O'} - z_{A}) = ( - 2;0;3)$.

Ta thấy véctơ $\overset{\rightarrow}{a} = (2;0; - 3) = - ( - 2;0;3) = - \overset{\rightarrow}{AO^{\prime}}$.

Do đó, $\overset{\rightarrow}{a}$ cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng AO'.

b) Sai. Vì OAB.O'A'B' là hình lăng trụ nên $O'A' \parallel OA$.

Do đó, góc giữa O'A' và AB chính là góc giữa OA và AB.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{OA} = (2;0;0)$ và $\overset{\rightarrow}{AB} = (x_{B} - x_{A};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A}) = ( - 2;1;0)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng OA và AB, ta có:$\cos\alpha = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{OA} \cdot \overset{\rightarrow}{AB} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{OA} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{AB} \right|} = \dfrac{\left| 2 \cdot ( - 2) + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \right|}{\sqrt{2^{2} + 0^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{{( - 2)}^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = \dfrac{| - 4|}{2 \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

Bấm máy tính: $\alpha = \arccos\left( \dfrac{2}{\sqrt{5}} \right) \approx 26^{{^\circ}}33'54^{''} \approx 26^{{^\circ}}34'$.

c) Đúng. Mặt phẳng $(ABO')$ đi qua 3 điểm nằm trên 3 trục tọa độ: $A(2;0;0) \in Ox$, $B(0;1;0) \in Oy$, $O'(0;0;3) \in Oz$.

Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:$\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{3} = 1$

$\left. \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z = 6\Leftrightarrow 3x + 6y + 2z - 6 = 0 \right.$

Từ phương trình tổng quát trên, ta suy ra mặt phẳng $(ABO')$ có một véctơ pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{n} = (3;6;2)$.

d) Đúng. Trục OO' chính là trục Oz, có véctơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{k} = (0;0;1).$

Đường thẳng AB nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $(Oxy)$ (vì cao độ $z = 0$).

Vì $OO'\bot(Oxy)$ tại O, nên khoảng cách từ đường thẳng OO' đến đường thẳng AB chính là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB trong mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$.

Trong mặt phẳng $(Oxy)$, đường thẳng AB đi qua $A(2;0)$ và $B(0;1)$ có phương trình đoạn chắn là: $\left. \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{1} = 1\Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0 \right.$.

Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến AB là:$d = \dfrac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

Vậy bán kính nhỏ nhất của mặt cầu là:$R_{\min} = \dfrac{1}{2}d = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn