Một ly trà sữa Mr Ben dạng hình nón cụt, có đường kính đáy ly 6 cm, đường kính miệng ly 8 cm,

Câu hỏi số 945099:

Vận dụng

Một ly trà sữa Mr Ben dạng hình nón cụt, có đường kính đáy ly 6 cm, đường kính miệng ly 8 cm, chiều cao 13,4 cm, ở miệng ly có sử dụng một nắp đậy có hình dạng nửa mặt cầu và ở đỉnh của nửa mặt cầu này có một hình tròn có đường kính 2 cm để cắm ống hút, mặt phẳng chứa hình tròn này song song với mặt phẳng chứa miệng ly (tham khảo hình vẽ sau).

Chọn hệ trục Oxy (đơn vị trên trục là centimet) với trục Ox đi qua tâm của 2 đáy hình nón cụt và gốc tọa độ O trùng với tâm của đáy lớn như hình vẽ trên. Tính thể tích bên trong của ly bao gồm cả thể tích của nắp (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:945099

Phương pháp giải

Ta sẽ sử dụng công cụ Tích phân tính thể tích khối tròn xoay để giải quyết cả hai phần.

Phần 1 (Thân ly): Khối nón cụt được tạo thành khi quay đoạn thẳng BC quanh trục Ox. Ta cần tìm tọa độ điểm B, điểm C, từ đó viết phương trình đường thẳng BC (có dạng $y = ax + b$) và áp dụng công thức tích phân.

Phần 2 (Nắp ly): Phần nắp là khối tròn xoay tạo thành khi quay cung tròn CD quanh trục Ox.Vì nắp có dạng "nửa mặt cầu" tại miệng ly nên bán kính mặt cầu bằng đúng bán kính miệng ly. Ta viết được phương trình đường tròn chứa cung CD.Lỗ cắm ống hút có đường kính $2\text{~cm}$ nghĩa là khoảng cách từ điểm D đến trục Ox (chính là tung độ $y_{D}$) bằng $1\text{~cm}$. Từ đó ta tìm được hoành độ $x_{D}$ và thiết lập được cận tích phân.

Giải chi tiết

Bước 1: Tính thể tích phần thân ly ($V_{1}$)

Miệng ly có đường kính $\left. 8\text{~cm}\Rightarrow \right.$ bán kính $R = 4\text{~cm}$.

Do điểm C nằm trên trục Oy nên toạ độ $C(0;4)$.

Đáy ly có đường kính $\left. 6\text{~cm}\Rightarrow \right.$ bán kính $r = 3\text{~cm}$.

Chiều cao ly là $13,4\text{~cm}$ và gốc O ở miệng ly, đáy ly nằm về phía âm trục hoành nên toạ độ $B( - 13,4;3)$.

Gọi phương trình đường thẳng BC là $y = ax + b$.

BC đi qua $\left. C(0;4)\Rightarrow b = 4 \right.$.

BC đi qua $\left. B( - 13,4;3)\Rightarrow 3 = - 13,4a + 4\Rightarrow a = \dfrac{1}{13,4} = \dfrac{5}{67} \right.$.

Vậy phương trình BC là: $y = f_{1}(x) = \dfrac{5}{67}x + 4$.

Thể tích phần thân ly là thể tích khối tròn xoay sinh bởi phần hình phẳng giới hạn bởi $y = f_{1}(x)$, $y = 0$, $x = - 13,4$, $x = 0$ quay quanh trục Ox:

$V_{1} = \pi{\int_{- 13,4}^{0}\left( {\dfrac{5}{67}x + 4} \right)^{2}}dx$$= \dfrac{2479\pi}{15} \approx 519,2\text{~(cm}^{3})$

Bước 2: Tính thể tích phần nắp đậy ($V_{2}$)

Nắp đậy là một phần của mặt cầu tâm $O(0;0)$, bán kính $R = 4\text{~cm}$.

Phương trình đường tròn sinh ra mặt cầu này là: $\left. x^{2} + y^{2} = 16\Rightarrow y = \sqrt{16 - x^{2}} \right.$ (vì phần đồ thị nằm phía trên trục Ox).

Đường tròn để cắm ống hút có đường kính $\left. 2\text{~cm}\Rightarrow \right.$ bán kính bằng $1\text{~cm}$.

Điểm D là điểm tận cùng của phần nắp, khoảng cách từ D đến Ox chính là bán kính lỗ cắm, nên $y_{D} = 1$.

Thay $y_{D} = 1$ vào phương trình đường tròn để tìm hoành độ điểm D ta có

$\left. x_{D}^{2} + 1^{2} = 16\Rightarrow x_{D}^{2} = 15\Rightarrow x_{D} = \sqrt{15} \right.$ (do $x_{D} > 0$)

Thể tích phần nắp là thể tích khối tròn xoay sinh bởi phần hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = f_{2}(x) = \sqrt{16 - x^{2}}$, trục Ox, $x = 0$, $x = \sqrt{15}$ quay quanh trục Ox:

$V_{2} = \pi{\int_{0}^{\sqrt{15}}\left( \sqrt{16 - x^{2}} \right)^{2}}dx = \pi{\int_{0}^{\sqrt{15}}{(16 - x^{2})}}dx$$= 11\pi\sqrt{15} \approx 133,8\text{~(cm}^{3})$

Bước 3: Tính tổng thể tích tổng thể tích bên trong ly là:$V = V_{1} + V_{2} \approx 519,2 + 133,8 = 653,0\text{~(cm}^{3})$

Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được $653\text{cm}^{3}$.

Đáp án cần điền là: 653

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.