Các thiên thạch có đường kính lớn hơn $140\text{m}$ và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng

Câu hỏi số 945469:

Vận dụng

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn $140\text{m}$ và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn $7500000\text{km}$ được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá $6630\text{km}$ so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6370 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian có gốc O tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1000\text{km}$. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M( - 12;29;10)$ theo phương song song với giá của vectơ $\overset{\rightarrow}{u}( - 12;17;5)$. Vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm nào dưới đây?

A. $B(12;0; - 5)$.

B. $B(12;5;0)$.

C. $B(12; - 5;0)$.

D. $B(0;12;5)$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:945469

Phương pháp giải

Mô hình hóa phạm vi quan sát: Phạm vi theo dõi của hệ thống là một khối cầu có tâm là tâm Trái Đất $O(0;0;0)$. Bán kính của khối cầu này là tổng bán kính Trái Đất và độ cao tối đa mà hệ thống quan sát được. Lưu ý đổi đơn vị cho khớp với hệ trục tọa độ (1 đơn vị = 1000km).

Viết phương trình quỹ đạo: Thiên thạch chuyển động theo đường thẳng đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u}$. Ta cần viết phương trình tham số của đường thẳng này.

Tìm giao điểm: Vị trí thiên thạch bắt đầu đi vào và đi ra khỏi vùng quan sát chính là giao điểm của đường thẳng quỹ đạo và mặt cầu phạm vi theo dõi. Thay phương trình đường thẳng vào phương trình mặt cầu để giải tìm tham số t.

Xác định "vị trí cuối cùng": Tính khoảng cách từ điểm xuất phát M đến các giao điểm. Giao điểm ở xa M hơn chính là điểm cuối cùng thiên thạch nằm trong tầm quan sát trước khi bay ra ngoài.

Giải chi tiết

Bán kính phạm vi theo dõi là: $R = \dfrac{6370 + 6630}{1000} = \dfrac{13000}{1000} = 13$ đơn vị

Mặt cầu $(S)$ tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R = 13$ có phương trình:

$\left. x^{2} + y^{2} + z^{2} = 13^{2}\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 169 \right.$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M( - 12;29;10)$ và nhận $\overset{\rightarrow}{u} = ( - 12;17;5)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số:

$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 12 - 12t} \\ {y = 29 + 17t} \\ {z = 10 + 5t} \end{array} \right.$

Thay tọa độ x, y, z từ phương trình tham số vào phương trình mặt cầu (S):

${( - 12 - 12t)}^{2} + {(29 + 17t)}^{2} + {(10 + 5t)}^{2} = 169$

$\left. \Leftrightarrow(144 + 288t + 144t^{2}) + (841 + 986t + 289t^{2}) + (100 + 100t + 25t^{2}) = 169 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 458t^{2} + 1374t + 1085 = 169 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 458t^{2} + 1374t + 916 = 0 \right.$

$\left. \Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = - 1} \\ {t = - 2} \end{array} \right. \right.$

Với $\left. t = - 1\Rightarrow \right.$ Điểm $A(0;12;5)$.

Với $\left. t = - 2\Rightarrow \right.$ Điểm $B(12; - 5;0)$.

Thiên thạch di chuyển từ $M$. Ta xét các vectơ từ $M$ đến 2 giao điểm: $\overset{\rightarrow}{MA} = (12; - 17; - 5)$, $\overset{\rightarrow}{MB} = (24; - 34; - 10)$

Dễ thấy $\overset{\rightarrow}{MB} = 2\overset{\rightarrow}{MA}$. Cả hai điểm $A$ và $B$ đều nằm trên cùng một tia xuất phát từ $M$, và đoạn $MB > MA$. Điều này có nghĩa là thiên thạch đi từ $M$, gặp điểm $A$ (đi vào vùng quan sát) trước, tiếp tục di chuyển qua Trái Đất và đi đến điểm $B$ (đi ra khỏi vùng quan sát).

Vậy vị trí cuối cùng trong phạm vi theo dõi là điểm $B(12; - 5;0)$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.