Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho

Câu hỏi số 945475:

Vận dụng

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bốn vệ tinh đặt tại các điểm có tọa độ lần lượt là $A(0;4;5)$, $B( - 3; - 1;3)$, $C( - 2;8;9)$, $D( - 7;2; - 3)$ đang tiến hành theo dõi vật thể M. Tại một thời điểm, cả bốn vệ tinh đồng thời phát tín hiệu về điểm M và ngay lập tức nhận lại tín hiệu phản hồi sau những khoảng thời gian lần lượt là $t_{A} = 0,2\text{ms}$, $t_{B} = \dfrac{1}{3}\text{ms}$, $t_{C} = 0,6\text{ms}$, $t_{D} = \dfrac{2}{3}\text{ms}$. Biết rằng vận tốc của sóng điện từ bằng vận tốc ánh sáng $c = 3 \cdot 10^{8}\text{~m/s}$. Tính khoảng cách từ M đến O biết một đơn vị độ dài trên các trục bằng 10km trên thực tế (đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:945475

Phương pháp giải

Tín hiệu đi từ vệ tinh đến M rồi phản hồi lại, nên quãng đường sóng đi gấp đôi khoảng cách từ vệ tinh đến M. Công thức: $d = \dfrac{c \cdot t}{2}$.

Gọi tọa độ điểm $M(x;y;z)$. Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian để lập hệ phương trình mặt cầu cho MA, MB, MC, MD.

Tính độ dài đoạn thẳng $OM = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$, sau đó nhân với 10 để ra kết quả theo đơn vị $\text{km}$.

Giải chi tiết

Tín hiệu đi từ vệ tinh đến M rồi phản hồi lại, nên quãng đường sóng đi gấp đôi khoảng cách từ vệ tinh đến M.

Khoảng cách d (trong Oxyz) được tính theo công thức: $d = \dfrac{3.10^{8}(10^{- 3}.t)}{2.10000} = 15.t$.

Khi đó

$MA = 15 \cdot 0,2 = 3$ (đơn vị);

$MB = 15 \cdot \dfrac{1}{3} = 5$ (đơn vị);

$MC = 15 \cdot 0,6 = 9$ (đơn vị);

$MD = 15 \cdot \dfrac{2}{3} = 10$ (đơn vị).

Gọi $M(x;y;z)$.

Ta có hệ:

$\left\{\begin{array}{l}(x-0)^2+(y-4)^2+(z-5)^2=9 \\ (x+3)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=25 \\ (x+2)^2+(y-8)^2+(z-9)^2=81 \\ (x+7)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=100\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6 x+10 y+4 z=38 \\ 4 x-8 y-8 z=-36 \\ 14 x+4 y+16 z=70\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2 \\ z=3\end{array}\right.\right.\right.$

Khoảng cách trong hệ tọa độ: $OM = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{14}$ (đơn vị).

Khoảng cách thực tế tính bằng km nên $d(M,O) = \sqrt{14}.10 \approx 37,41657\text{(km)}$.

Đáp án cần điền là: 37,4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.