Tung đồng thời hai con xúc xắc khác nhau đều cân đối và đồng chất ba

Câu hỏi số 945993:

Vận dụng

Tung đồng thời hai con xúc xắc khác nhau đều cân đối và đồng chất ba lần. Bằng cách cộng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc trong mỗi lần tung ta được một số ngẫu nhiên từ 2 đến 12. Gọi ba số này lần lượt là a, b và t. Chọn ngẫu nhiên một tam giác có hai cạnh có độ dài là a, b và góc xen giữa chúng bằng $(t - 1)15$ độ. Xác suất để tam giác này là tam giác vuông bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:945993

Phương pháp giải

Tam giác vuông khi góc xen giữa bằng $90^{{^\circ}}$ hoặc một trong hai góc còn lại bằng $90^{{^\circ}}$.

Đếm số kết quả thuận lợi dựa trên tổng số chấm của hai con xúc xắc.

Giải chi tiết

Không gian mẫu $n(\Omega) = 36^{3} = 46656$

Gọi $\theta = (t - 1)15^{{^\circ}}$

Trường hợp 1: $\left. \theta = 90^{{^\circ}}\Rightarrow t - 1 = 6\Rightarrow t = 7 \right.$

Số cách tung được tổng 7 là 6 cách

a, b có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ 2 đến 12 (có 36.36 cách)

Số cách TH1: $6.36.36 = 7776$.

Trường hợp 2: $\theta \neq 90^{{^\circ}}$, tam giác vuông tại đỉnh khác.

Điều này xảy ra khi $\cos\theta = \dfrac{a}{b}$ hoặc $\cos\theta = \dfrac{b}{a}$

Với $t \in \{8, 9, 10, 11, 12\}$, ta có góc xen giữa $\theta = (t-1)15^\circ \ge (8-1)15^\circ = 105^\circ$.

Vì $\theta > 90^\circ$ nên tam giác tạo thành là tam giác tù, không thể thỏa mãn yêu cầu là tam giác vuông.

Do đó, ta chỉ cần xét các trường hợp $\theta < 90^\circ$, tương ứng với $t \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$.

Xét các giá trị $\theta \in \left\{ 15^{{^\circ}},30^{{^\circ}},45^{{^\circ}},60^{{^\circ}},75^{{^\circ}} \right\}$ (ứng với $t \in \left\{ 2,3,4,5,6 \right\}$)

Chỉ có $\cos 60^{{^\circ}} = \dfrac{1}{2}$ là số hữu tỉ. Khi đó $t = 5$ (có 4 cách)

Các cặp $(a,b)$ sao cho $\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{2}$ là $(2,4),(3,6),(4,8),(5,10),(6,12)$

Số cách chọn $(a,b)$ là $2.(1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 1) = 90$

Số cách TH2: $4.90 = 360$

Xác suất cần tính $P = \dfrac{7776 + 360}{46656} \approx 0,17$.

Đáp án cần điền là: 0,17

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.