Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng 12 và $\widehat{A^{\prime}AB} = 60^{{^\circ}}$. Giả
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng 12 và $\widehat{A^{\prime}AB} = 60^{{^\circ}}$. Giả sử điểm M thuộc đoạn thẳng AC', có ảnh qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu BA' là điểm N thuộc đoạn thẳng B'D'. Độ dài đoạn thẳng MN bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp phân tích vectơ trong không gian.
Biểu diễn các vectơ qua hệ ba vectơ không đồng phẳng tạo từ các cạnh của hình hộp.
Sử dụng điều kiện cùng phương của hai vectơ.
Đặt $\overset{\rightarrow}{a} = \overset{\rightarrow}{AB}$, $\overset{\rightarrow}{b} = \overset{\rightarrow}{AD}$, $\overset{\rightarrow}{c} = \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}}$.
Vì hình hộp có tất cả các cạnh bằng 12 nên $\left| \overset{\rightarrow}{a} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{b} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{c} \right| = 12$.
Mặt bên ABB'A' là hình thoi có $\widehat{A^{\prime}AB} = 60^{{^\circ}}$ nên tam giác A'AB là tam giác đều, suy ra $A'B = 12$. Do đó $\left| \overset{\rightarrow}{BA^{\prime}} \right| = 12$.
Ta có $\overset{\rightarrow}{AC^{\prime}} = \overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b} + \overset{\rightarrow}{c}$.
Vì $M$ thuộc đoạn AC' nên $\overset{\rightarrow}{AM} = x\overset{\rightarrow}{AC^{\prime}} = x(\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b} + \overset{\rightarrow}{c})$ với $0 \leq x \leq 1$.
Vì $N$ thuộc đoạn B'D' nên $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}N} = y\overset{\rightarrow}{A^{\prime}B^{\prime}} + (1 - y)\overset{\rightarrow}{A^{\prime}D^{\prime}} = y\overset{\rightarrow}{a} + (1 - y)\overset{\rightarrow}{b}$ với $0 \leq y \leq 1$.
Ta biểu diễn vectơ $\overset{\rightarrow}{MN}$:
$\overset{\rightarrow}{MN} = \overset{\rightarrow}{AN} - \overset{\rightarrow}{AM} = (\overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} + \overset{\rightarrow}{A^{\prime}N}) - \overset{\rightarrow}{AM}$
$\overset{\rightarrow}{MN} = \overset{\rightarrow}{c} + y\overset{\rightarrow}{a} + (1 - y)\overset{\rightarrow}{b} - x\overset{\rightarrow}{a} - x\overset{\rightarrow}{b} - x\overset{\rightarrow}{c} = (y - x)\overset{\rightarrow}{a} + (1 - y - x)\overset{\rightarrow}{b} + (1 - x)\overset{\rightarrow}{c}$
Vì $N$ là hình chiếu của $M$ theo phương BA' nên $\overset{\rightarrow}{MN}$ cùng phương với $\overset{\rightarrow}{BA^{\prime}} = \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} - \overset{\rightarrow}{AB} = - \overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{c}$.
Suy ra $\overset{\rightarrow}{MN} = k( - \overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{c}) = - k\overset{\rightarrow}{a} + k\overset{\rightarrow}{c}$.
Đồng nhất các hệ số của hai cách biểu diễn $\overset{\rightarrow}{MN}$, ta có hệ phương trình:
$\left. \left\{ \begin{array}{l} {y - x = - k} \\ {1 - y - x = 0} \\ {1 - x = k} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {y = 1 - x} \\ {1 - 2x = - k} \\ {1 - x = k} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{2}{3}} \\ {k = \dfrac{1}{3}} \end{array} \right. \right.$
Do đó $\overset{\rightarrow}{MN} = \dfrac{1}{3}\overset{\rightarrow}{BA^{\prime}}$ nên $MN = \dfrac{1}{3}BA' = \dfrac{1}{3}.12 = 4$
Đáp án cần điền là: 4
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
