Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm $A(5; - 2;0)$, $B(4;5; - 2)$ và $C(0;3;2)$. Điểm M di chuyển

Câu hỏi số 946737:

Vận dụng

Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm $A(5; - 2;0)$, $B(4;5; - 2)$ và $C(0;3;2)$. Điểm M di chuyển trên trục Ox. Đặt $\left. Q = 2 \middle| \overset{\rightarrow}{MA} + \overset{\rightarrow}{MB} + \overset{\rightarrow}{MC} \middle| + 3 \middle| \overset{\rightarrow}{MB} + \overset{\rightarrow}{MC} \right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của Q có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b \in {\mathbb{N}}$ và b là số nguyên tố. Tính $a + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:946737

Phương pháp giải

- Gọi G là trọng tâm $\triangle ABC$ và I là trung điểm của BC.

- Sử dụng tính chất vectơ $\overset{\rightarrow}{MA} + \overset{\rightarrow}{MB} + \overset{\rightarrow}{MC} = 3\overset{\rightarrow}{MG}$ và $\overset{\rightarrow}{MB} + \overset{\rightarrow}{MC} = 2\overset{\rightarrow}{MI}$.

- Đưa bài toán về tìm điểm M trên trục Ox để tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định là nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Tọa độ trọng tâm G của $\bigtriangleup ABC$ là $G(3;2;0)$.

Tọa độ trung điểm I của BC là $I(2;4;0)$.

Khi đó $\left. Q = 2 \middle| 3\overset{\rightarrow}{MG} \middle| + 3 \middle| 2\overset{\rightarrow}{MI} \middle| = 6(MG + MI) \right.$.

Vì G, I đều nằm trong mặt phẳng Oxy và $M \in Ox$ nên bài toán quy về tìm $M(x;0;0)$ sao cho $MG + MI$ nhỏ nhất.

$G(3;2;0)$ và $I(2;4;0)$ nằm cùng phía so với trục Ox.

Lấy G' đối xứng với G qua Ox $\left. \Rightarrow G'(3; - 2;0) \right.$.

Giá trị nhỏ nhất của $MG + MI$ là độ dài đoạn thẳng G'I:

$G'I = \sqrt{{(2 - 3)}^{2} + {(4 - ( - 2))}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{37}$.

Vậy $Q_{min} = 6\sqrt{37}$.

Với $a = 6$, $b = 37$, giá trị $a + b = 6 + 37 = 43$.

Đáp án cần điền là: 43

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.