Người ta trang trí một bảng ô vuông $4 \times 4$ (như hình 1) bởi các ngôi sao và các bông hoa

Câu hỏi số 946846:

Vận dụng

Người ta trang trí một bảng ô vuông $4 \times 4$ (như hình 1) bởi các ngôi sao và các bông hoa giống nhau. Mỗi ô vuông nhỏ được dán một ngôi sao hoặc một bông hoa, sao cho trong mỗi hàng hoặc mỗi cột của bảng ô vuông đều có 2 ngôi sao và 2 bông hoa (tham khảo một cách dán trong hình 2). Có tất cả bao nhiêu cách trang trí bảng ô vuông thỏa mãn yêu cầu trên?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:946846

Phương pháp giải

Coi mỗi ngôi sao tương ứng với số 1 và bông hoa tương ứng với số 0.

Bài toán quy về đếm số ma trận kích thước $4 \times 4$ chỉ gồm các chữ số 0 và 1 sao cho tổng mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 2.

Sử dụng các mẫu hàng đối lập để phân chia trường hợp.

Giải chi tiết

Một hàng của bảng có 4 ô, số cách chọn 2 ô dán ngôi sao là $C_{4}^{2} = 6$ cách.

Tương ứng với 6 cách này, ta có 6 mẫu hàng.

Chia 6 mẫu hàng này thành 3 cặp đối lập (tổng hai hàng trong một cặp là một hàng toàn ngôi sao, nghĩa là ngôi sao ở hàng này sẽ tương ứng với bông hoa ở hàng kia tại cùng một vị trí cột):

Cặp 1: $(1,1,0,0)$ và $(0,0,1,1)$.

Cặp 2: $(1,0,1,0)$ và $(0,1,0,1)$.

Cặp 3: $(1,0,0,1)$ và $(0,1,1,0)$.

Để tổng mỗi cột của bảng bằng 2, bốn hàng của bảng phải được tạo thành từ việc chọn ra hai cặp đối lập. Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Bốn hàng được chọn từ cùng một cặp đối lập (mỗi mẫu hàng trong cặp xuất hiện 2 lần).

Số cách chọn một cặp từ 3 cặp: 3 cách.

Với mỗi cách chọn, số hoán vị của 4 hàng (trong đó có 2 cặp hàng giống nhau) là 6 cách.

Số cách cho trường hợp này: $3.6 = 18$ cách.

Trường hợp 2: Bốn hàng được chọn từ hai cặp đối lập khác nhau (mỗi mẫu hàng trong hai cặp được chọn xuất hiện đúng 1 lần).

Số cách chọn hai cặp từ 3 cặp: $C_{3}^{2} = 3$ cách.

Với mỗi cách chọn, ta có 4 hàng đôi một khác nhau nên số hoán vị là: $4! = 24$ cách.

Số cách cho trường hợp này: $3.24 = 72$ cách.

Vậy có $18 + 72 = 90$ cách trang trí thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án cần điền là: 90

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.