Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Cung AC là một phần tư đường tròn tâm D, bán kính

Câu hỏi số 946863:

Vận dụng

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Cung AC là một phần tư đường tròn tâm D, bán kính DA (tham khảo hình vẽ). Giả sử P là điểm thay đổi trên cung AC (P khác A và C). Tiếp tuyến tại điểm P của cung AC cắt các đoạn thẳng AB, BC theo thứ tự tại các điểm M, N. Diện tích lớn nhất của tam giác BMN bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:946863

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa. Chọn hệ trục tọa độ phù hợp, thiết lập phương trình đường tròn và đường tiếp tuyến.

Tìm tọa độ các điểm M, N theo tham số của điểm P.

Viết biểu thức tính diện tích tam giác BMN và tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $D(0;0) \equiv O$.

Vì hình vuông có cạnh bằng 1, nên tọa độ các đỉnh là: $A(0;1)$, $C(1;0)$ và $B(1;1)$.

Cung AC nằm trong góc phần tư thứ nhất thuộc đường tròn tâm $D(0;0)$, bán kính $R = 1$. Phương trình đường tròn là $x^{2} + y^{2} = 1$ ($x \geq 0,y \geq 0$).

Gọi tọa độ điểm P trên cung AC là $P(\cos t;\sin t)$ với $t \in (0;\dfrac{\pi}{2})$.

Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ tại P của đường tròn là qua $P(\cos t;\sin t)$ và có VTPT là $\overset{\rightarrow}{DP}\left( {\cos t;\sin t} \right)$

Vậy phưuong trình có dạng

$\begin{array}{l} {\cos t\left( {x - \cos t} \right) + \sin t\left( {y - \sin t} \right) = 0} \\ \left. \Leftrightarrow x.\cos t + y.\sin t = 1 \right. \end{array}$.

Đường thẳng AB có phương trình $y = 1$. Giao điểm M của $\Delta$ và AB:

Thay $y = 1$ vào phương trình $\Delta$: $\left. x.\cos t + \sin t = 1\Rightarrow x = \dfrac{1 - \sin t}{\cos t} \right.$.

Vậy $M\left( {\dfrac{1 - \sin t}{\cos t};1} \right)$.

Đường thẳng BC có phương trình $x = 1$. Giao điểm N của $\Delta$ và BC:

Thay $x = 1$ vào phương trình $\Delta$: $\left. \cos t + y.\sin t = 1\Rightarrow y = \dfrac{1 - \cos t}{\sin t} \right.$.

Vậy $N\left( {1;\dfrac{1 - \cos t}{\sin t}} \right)$.

Độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông BMN (vuông tại B):

$BM = 1 - x_{M} = 1 - \dfrac{1 - \sin t}{\cos t} = \dfrac{\cos t + \sin t - 1}{\cos t}$

$BN = 1 - y_{N} = 1 - \dfrac{1 - \cos t}{\sin t} = \dfrac{\sin t + \cos t - 1}{\sin t}$

Diện tích tam giác BMN là:

$S = \dfrac{1}{2}BM \cdot BN = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\cos t + \sin t - 1}{\cos t} \cdot \dfrac{\sin t + \cos t - 1}{\sin t} = \dfrac{1}{2}\dfrac{{(\sin t + \cos t - 1)}^{2}}{\sin t \cdot \cos t}$

Đặt $u = \sin t + \cos t = \sqrt{2}\sin\left( {t + \dfrac{\pi}{4}} \right)$.

Do $t \in (0;\dfrac{\pi}{2})$ nên $1 < u \leq \sqrt{2}$.

Ta có $\left. u^{2} = \sin^{2}t + \cos^{2}t + 2\sin t\cos t = 1 + 2\sin t\cos t\Rightarrow\sin t\cos t = \dfrac{u^{2} - 1}{2} \right.$.

Thay vào biểu thức diện tích S:

$S = \dfrac{1}{2}\dfrac{{(u - 1)}^{2}}{\dfrac{u^{2} - 1}{2}} = \dfrac{{(u - 1)}^{2}}{u^{2} - 1} = \dfrac{{(u - 1)}^{2}}{(u - 1)(u + 1)} = \dfrac{u - 1}{u + 1} = 1 - \dfrac{2}{u + 1}$

Hàm số $f(u) = 1 - \dfrac{2}{u + 1}$ đồng biến trên nửa khoảng $(1;\sqrt{2}\rbrack$.

Do đó, S đạt giá trị lớn nhất khi $u = \sqrt{2}$ (tương ứng với $t = \dfrac{\pi}{4}$, điểm P nằm chính giữa cung AC).

$S_{\max} = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2} = 3 - 2\sqrt{2} \approx 0,17$

Đáp án cần điền là: 0,17

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.