Một tấm kính làm mặt bàn (H1) có hình dáng tam giác đều với 3 đỉnh được làm cong (H2). Biết

Câu hỏi số 946936:

Vận dụng

Một tấm kính làm mặt bàn (H1) có hình dáng tam giác đều với 3 đỉnh được làm cong (H2). Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng $12(dm)$. Để cắt góc bàn được đẹp thì người ta cắt theo đường cong là đường Parabol (P): $y = - \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^{2} + 5\sqrt{3}$ (H3) có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác (H4).

Diện tích mặt kính làm mặt bàn (H1) bằng $S\left( {dm^{2}} \right)$. Tính S (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:946936

Phương pháp giải

- Thiết lập hệ tọa độ, xác định phương trình các cạnh của tam giác đều.

- Tính diện tích phần bị cắt đi ở một góc bằng tích phân.

- Diện tích mặt bàn bằng diện tích tam giác đều ban đầu trừ đi diện tích bị cắt ở 3 góc.

Giải chi tiết

Xét tam giác đều cạnh 12 dm, chiều cao là $6\sqrt{3}dm$.

Chọn hệ tọa độ sao cho đỉnh cao nhất là $V(0;6\sqrt{3})$.

Hai cạnh bên đi qua V có phương trình là $y = - \sqrt{3}x + 6\sqrt{3}$ và $y = \sqrt{3}x + 6\sqrt{3}$.

Parabol $(P):y = - \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^{2} + 5\sqrt{3}$ tiếp xúc với hai cạnh này.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\left. - \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^{2} + 5\sqrt{3} = - \sqrt{3}x + 6\sqrt{3}\Leftrightarrow x^{2} - 4x + 4 = 0\Leftrightarrow x = 2 \right.$.

Diện tích phần bị cắt ở một góc là:

$S_{1} = 2{\int_{0}^{2}{\left\lbrack {\left( {- \sqrt{3}x + 6\sqrt{3}} \right) - \left( {- \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^{2} + 5\sqrt{3}} \right)} \right\rbrack dx}} = 2\sqrt{3}{\int_{0}^{2}{\left( {\dfrac{1}{4}x^{2} - x + 1} \right)dx}}$

$= 2\sqrt{3}\left( {\dfrac{2}{3} - 2 + 2} \right) = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}(dm^{2})$.

Diện tích tam giác đều ban đầu là $S_{0} = \dfrac{12^{2}\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}(dm^{2})$.

Diện tích mặt bàn sau khi cắt là: $S = S_{0} - 3S_{1} = 36\sqrt{3} - 3 \cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{3} = 32\sqrt{3} \approx 55,4(dm^{2})$.

Đáp án cần điền là: 55,4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.