Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc ĐGNL, ĐGTD ngày 25-26/04/2026
↪ ĐGNL HCM (V-ACT) - Trạm số 6 ↪ ĐGTD Bách khoa (TSA) - Trạm số 7
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Xét bất phương trình $(2^{b} - 2)(a \cdot 3^{b} - 20) < 0$ với a là tham số nguyên dương và b là

Câu hỏi số 947047:
Vận dụng

Xét bất phương trình $(2^{b} - 2)(a \cdot 3^{b} - 20) < 0$ với a là tham số nguyên dương và b là ẩn số nguyên. Những phương án nào dưới đây đúng?

Đáp án đúng là: A; C; D; E

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:947047
Phương pháp giải

Giải bất phương trình và biên luận số nghiệm theo tham số bằng cách chia 2 trường hợp

Trường hợp 1: $\log_{3}\left( \dfrac{20}{a} \right) > 1$ thì phương trình có nghiệm $b \in \left( {1;\log_{3}\dfrac{20}{a}} \right)$

Trường hợp 2: $\log_{3}\left( \dfrac{20}{a} \right) < 1$ thì phương trình có nghiệm $b \in \left( {\log_{3}\dfrac{20}{a};1} \right)$

Giải chi tiết

$\begin{array}{l} {(2^{b} - 2)(a \cdot 3^{b} - 20) < 0} \\ \left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {2^{b} - 2 > 0} \\ {a.3^{b} - 20 < 0} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} {2^{b} - 2 < 0} \\ {a.3^{b} - 20 > 0} \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {b > 1} \\ {b < \log_{3}\dfrac{20}{a}} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} {b < 1} \\ {b > \log_{3}\dfrac{20}{a}} \end{array} \right. \end{array} \right. \right. \end{array}$

Trường hợp 1: $\log_{3}\left( \dfrac{20}{a} \right) > 1$ thì phương trình có nghiệm $b \in \left( {1;\log_{3}\dfrac{20}{a}} \right)$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{20}{a} > 3\Leftrightarrow a < \dfrac{20}{3} \approx 6,67 \right.$

Vì a nguyên dương nên $a \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$.

Khi đó, tập nghiệm của bất phương trình là $1 < b < \log_{3}\left( \dfrac{20}{a} \right)$.

Vì $b \in {\mathbb{Z}}$, ta kiểm tra các giá trị của a:

Nếu $a \in \left\{ 1;2 \right\}$, ta có $\log_{3}\left( \dfrac{20}{1} \right) \approx 2,7$ và $\log_{3}\left( \dfrac{20}{2} \right) \approx 2,1$. Cả hai trường hợp này khoảng nghiệm đều chứa duy nhất một số nguyên là $b = 2$$\Rightarrow$ Có đúng 1 nghiệm nguyên.

Nếu $a \in \left\{ 3;4;5;6 \right\}$, ta có $\log_{3}\left( \dfrac{20}{a} \right) < \log_{3}\left( \dfrac{20}{3} \right) \approx 1,73$. Khoảng $(1;1,73)$ không chứa số nguyên nào $\Rightarrow$ Vô nghiệm nguyên.

Trường hợp 2: $\log_{3}\left( \dfrac{20}{a} \right) < 1$ thì phương trình có nghiệm $b \in \left( {\log_{3}\dfrac{20}{a};1} \right)$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{20}{a} < 3\Leftrightarrow a > \dfrac{20}{3}\Rightarrow a \geq 7 \right.$

Vì b là số nguyên, các nghiệm b sẽ lần lượt lùi dần từ $0, - 1, - 2, - 3,...$ tùy thuộc vào độ nhỏ của cận dưới.

Để có đúng 1 nghiệm nguyên (chỉ có $b = 0$):

$\left. - 1 \leq \log_{3}\left( \dfrac{20}{a} \right) < 0\Leftrightarrow 3^{- 1} \leq \dfrac{20}{a} < 3^{0}\Leftrightarrow\dfrac{1}{3} \leq \dfrac{20}{a} < 1\Leftrightarrow 20 < a \leq 60 \right.$

$\Rightarrow$ Có $60 - 21 + 1 = 40$ giá trị a.

Để có đúng 2 nghiệm nguyên ($b = 0;b = - 1$):

$\left. - 2 \leq \log_{3}\left( \dfrac{20}{a} \right) < - 1\Leftrightarrow 3^{- 2} \leq \dfrac{20}{a} < 3^{- 1}\Leftrightarrow\dfrac{1}{9} \leq \dfrac{20}{a} < \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow 60 < a \leq 180 \right.$

$\Rightarrow$ Có $180 - 61 + 1 = 120$ giá trị a.

Để có đúng 3 nghiệm nguyên ($b = 0;b = - 1;b = - 2$):

$\left. - 3 \leq \log_{3}\left( \dfrac{20}{a} \right) < - 2\Leftrightarrow 3^{- 3} \leq \dfrac{20}{a} < 3^{- 2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{27} \leq \dfrac{20}{a} < \dfrac{1}{9}\Leftrightarrow 180 < a \leq 540 \right.$

$\Rightarrow$ Có $540 - 181 + 1 = 360$ giá trị a.

Kết luận

a) Đúng. Với $a \in \left\{ 3;4;5;6 \right\}$ bất phương trình vô nghiệm.

b) Sai. Với $a = 100 \in (60;180\rbrack$ nên phương trình có 2 nghiệm nguyên b

c) Đúng. Tổng số giá trị a để có đúng 1 nghiệm nguyên là 2 giá trị ở TH1 ($a \in \left\{ 1;2 \right\}$) và 40 giá trị ở TH2 ($a \in (20;60\rbrack$). Tổng cộng là 2 + 40 = 42 giá trị.

d) Đúng. Có 120 số nguyên dương a sao cho bất phương trình có đúng 2 nghiệm nguyên b.

e) Đúng. Có 360 giá trị của a sao cho bất phương trình có đúng 3 nghiệm nguyên b

Đáp án cần chọn là: A; C; D; E

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn