Trên một hệ thống vòng quay mặt trời, hai cabin A và B chuyển động trên cùng một quỹ đạo

Câu hỏi số 947046:

Vận dụng

Trên một hệ thống vòng quay mặt trời, hai cabin A và B chuyển động trên cùng một quỹ đạo tròn. Chọn trục Ox là trục nằm ngang đi qua tâm của vòng quay. Độ cao h (đơn vị: mét) của hai cabin so với trục tâm Ox theo thời gian t (đơn vị: phút) được xác định bởi các hàm số sau:

Độ cao của cabin A: $h_{A} = 10\cos(\pi t)$

Độ cao của cabin B: $h_{B} = 10\sin\left( {\pi t + \dfrac{\pi}{6}} \right)$

(Quy ước h > 0 khi cabin ở nửa trên và h < 0 khi cabin ở nửa dưới trục tâm Ox).

Những phương án nào dưới đây là đúng?

A. Tại thời điểm bắt đầu quay ($t = 0$), cabin A đang nằm ở vị trí cao nhất của vòng quay.

B. Cabin B đi qua trục ngang tâm Ox lần đầu tiên tại thời điểm $t = \dfrac{5}{6}$ phút.

C. Trong 1 phút đầu tiên, hai cabin A và B ở cùng một độ cao đúng 2 lần.

D. Khoảng cách lớn nhất theo phương thẳng đứng giữa hai cabin trong suốt quá trình quay là 20 mét.

Đáp án đúng là: A; B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:947046

Phương pháp giải

a) Tìm GTLN của $h_{A} = 10\cos(\pi t)$

b) Giải phương trình $\left. h_{B} = 0\Leftrightarrow 10\sin\left( {\pi t + \dfrac{\pi}{6}} \right) = 0 \right.$

c) Hai cabin ở cùng độ cao khi $\left. h_{A} = h_{B}\Leftrightarrow 10\cos(\pi t) = 10\sin\left( {\pi t + \dfrac{\pi}{6}} \right) \right.$.

d) Khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hai cabin là $\left. d(t) = \middle| h_{A} - h_{B} \right|$.

Giải chi tiết

a) Đúng. Thay $t = 0$ vào phương trình của cabin A: $h_{A}(0) = 10\cos(0) = 10$.

Vì biên độ của hàm số là 10, nên 10 mét chính là độ cao tối đa (vị trí cao nhất) mà cabin đạt được so với trục tâm.

b) Đúng. Cabin B đi qua trục Ox khi $\left. h_{B} = 0\Leftrightarrow 10\sin\left( {\pi t + \dfrac{\pi}{6}} \right) = 0 \right.$.

$\left. \Leftrightarrow\pi t + \dfrac{\pi}{6} = k\pi\Leftrightarrow\pi t = - \dfrac{\pi}{6} + k\pi\Leftrightarrow t = - \dfrac{1}{6} + k \right.$ (với $k \in {\mathbb{Z}}$).

Vì thời gian $t \geq 0$, ta chọn $k$ nguyên dương nhỏ nhất là $k = 1$.

Khi đó $t = - \dfrac{1}{6} + 1 = \dfrac{5}{6}$ (phút). Đây chính là thời điểm đầu tiên cabin B chạm trục Ox.

c) Sai. Hai cabin ở cùng độ cao khi $\left. h_{A} = h_{B}\Leftrightarrow 10\cos(\pi t) = 10\sin\left( {\pi t + \dfrac{\pi}{6}} \right) \right.$.

Sử dụng công thức phụ chéo: $\sin\left( {\pi t + \dfrac{\pi}{6}} \right) = \cos\left\lbrack {\dfrac{\pi}{2} - \left( {\pi t + \dfrac{\pi}{6}} \right)} \right\rbrack = \cos\left( {\dfrac{\pi}{3} - \pi t} \right)$.

Phương trình trở thành: $\cos(\pi t) = \cos\left( {\dfrac{\pi}{3} - \pi t} \right)$.

Trường hợp 1: $\left. \pi t = \dfrac{\pi}{3} - \pi t + k2\pi\Leftrightarrow 2\pi t = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{6} + k \right.$.

Trường hợp 2: $\left. \pi t = - \left( {\dfrac{\pi}{3} - \pi t} \right) + k2\pi\Leftrightarrow 0 = - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \right.$ (Vô nghiệm).

Xét trong 1 phút đầu tiên ($0 \leq t \leq 1$): $\left. 0 \leq \dfrac{1}{6} + k \leq 1\Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} \leq k \leq \dfrac{5}{6} \right.$.

Vì $k \in {\mathbb{Z}}$ nên chỉ có duy nhất 1 giá trị $k = 0$, tương ứng $t = \dfrac{1}{6}$ phút.

Vậy hai cabin chỉ gặp nhau ở cùng độ cao 1 lần trong 1 phút đầu tiên, không phải 2 lần.

d) Sai. Khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hai cabin là $\left. d(t) = \middle| h_{A} - h_{B} \right|$.

Ta xét biểu thức bên trong trị tuyệt đối:

$h_{A} - h_{B} = 10\cos(\pi t) - 10\sin\left( {\pi t + \dfrac{\pi}{6}} \right)$

$= 10\cos(\pi t) - 10\left\lbrack {\sin(\pi t)\cos\left( \dfrac{\pi}{6} \right) + \cos(\pi t)\sin\left( \dfrac{\pi}{6} \right)} \right\rbrack$

$= 10\cos(\pi t) - 10\left( {\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(\pi t) + \dfrac{1}{2}\cos(\pi t)} \right)$

$= 5\cos(\pi t) - 5\sqrt{3}\sin(\pi t)$

$= 10\left\lbrack {\dfrac{1}{2}\cos(\pi t) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(\pi t)} \right\rbrack = 10\cos\left( {\pi t + \dfrac{\pi}{3}} \right)$.

Vậy $d(t) = \left| {10\cos\left( {\pi t + \dfrac{\pi}{3}} \right)} \right|$.

Do $- 1 \leq \cos\left( {\pi t + \dfrac{\pi}{3}} \right) \leq 1$ nên giá trị lớn nhất của $d(t)$ là 10 mét, không phải 20 mét.

Đáp án cần chọn là: A; B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.