Ông An đang ở trong rừng để đào vàng. Ông ta tìm thấy vàng ở

Câu hỏi số 948266:

Vận dụng

Ông An đang ở trong rừng để đào vàng. Ông ta tìm thấy vàng ở điểm $X$, cách điểm A 3km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của ông An nằm ở $Y,$cách điểm B 3km. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB = 18\text{~km},AM = NB = x\text{~km}$ và $AX$ $= BY = 3\text{~km}$. (Như hình vẽ)

Khi đang đào vàng, ông An bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo hàm số$y = 50\text{log}\left( {t + 2} \right)\,\,\left( \text{mg/l} \right)$ Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Ông An cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Ông ấy chạy trong rừng với vận tốc $5\text{~km}/\text{h}$ và chạy trên đường bờ biển và với vận tốc $13\text{~km}/\text{h}$. Để về đến trại Ông An cần chạy từ trong rừng qua điểm $M,N$ trên đường bờ biển. Chọn điểm M trên đường bờ biển sao cho khi ông An về đến trại nồng độ chất độc trong máu thấp nhất. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi ông An về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 32,6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948266

Phương pháp giải

Thiết lập hàm tổng thời gian $t(x)$ di chuyển từ $X$ đến $Y$, tìm giá trị $x$ để $T(x)$ nhỏ nhất, sau đó tính nồng độ $y$.

Giải chi tiết

Nồng độ độc trong máu là: $y = 50{\rm{log}}\left( {t + 2} \right)\left( {mg/l} \right)$ với $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn.

Ta có: $y' = \dfrac{{50}}{{{\rm{ln}}10.\left( {t + 2} \right)}} > 0,\forall t \ge 0$

Như vậy nồng độ độc trong máu tăng theo thời gian.

Do đó, nồng độ độc trong máu thấp nhất khi thời gian $t$ thấp nhất.

Thời gian $t$ kể từ khi bị rắn cắn đến khi về đến trại được tính như sau:

t = thời gian chạy trên XN + thời gian chạy trên MN + thời gian chạy trên NY.

$t = \dfrac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{5} + \dfrac{{18 - 2x}}{{13}} + \dfrac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{5} = 2. \dfrac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{5} + \dfrac{{18 - 2x}}{{13}}$ với $x \in \left[ {0;18} \right]$.

Ta có:

$t' = \dfrac{{2x}}{{5\sqrt {9 + {x^2}} }} - \dfrac{2}{{13}}= 0$

$\Leftrightarrow 13x - 5\sqrt {9 + {x^2}} = 0$

$ \Leftrightarrow 169{x^2} = 25\left( {9 + {x^2}} \right)$ (vì $x \ge 0$)

$ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{25}}{{16}}$ $ \Rightarrow x = \dfrac{5}{4}$ (vì $x \ge 0$)

Bảng biến thiên:

Ta thấy khi $x = \dfrac{5}{4}$, thời gian $t$ đạt giá trị nhỏ nhất: $t = t\left( { \dfrac{5}{4}} \right) = \dfrac{{162}}{{65}}$ (giờ).

Lúc này nồng độ độc đạt nồng độ thấp nhất và bằng: $50{\rm{log}}\left( { \dfrac{{162}}{{65}} + 2} \right) \approx 32,6$ (mg/lít).

Đáp án cần điền là: 32,6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.