Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2z - 38 = 0$ và hai mặt

Câu hỏi số 948271:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2z - 38 = 0$ và hai mặt phẳng $(\alpha):x + 2y - 4 = 0;(\beta):3y + z - 5 = 0$. Xét $(P)$ là mặt phẳng thay đổi, song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$. Khoảng cách lớn nhất từ điểm $A\left( {5; - 5;6} \right)$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng bao nhiêu. (làm tròn đến hàng phần mười)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 9,5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948271

Giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (2; -1; 3)$. Tâm $I(1; 0; 1)$, $R = 2\sqrt{10}$.

Gọi vector pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (a; b; c)$ (với $a^2 + b^2 + c^2 > 0$).

Do $(P) \parallel \Delta$ nên $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u_{\Delta}} = 0 \Rightarrow 2a - b + 3c = 0 \Leftrightarrow b = 2a + 3c$.

Mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax + by + cz + d = 0$.

Vì $(P)$ tiếp xúc $(S)$ nên $d(I, (P)) = R \Leftrightarrow \dfrac{|a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 1 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = 2\sqrt{10} \Leftrightarrow \dfrac{|a + c + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = 2\sqrt{10}$.

Khi đó khoảng cách cần tìm là $d(A, (P)) = \dfrac{|5a - 5b + 6c + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Ta có $5a - 5b + 6c + d = (a + c + d) + (4a - 5b + 5c)$.

Thay $b = 2a + 3c$ vào phần dư: $4a - 5(2a + 3c) + 5c = -6a - 10c$.

Áp dụng bất đẳng thức $|X + Y| \le |X| + |Y|$, ta có:

d(A, (P)) \le \frac{|a + c + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} + \frac{|-6a - 10c|}{\sqrt{a^2 + (2a+3c)^2 + c^2}} = 2\sqrt{10} + \sqrt{\frac{(6a+10c)^2}{5a^2 + 12ac + 10c^2}}

Khảo sát hàm số (hoặc chia cả tử và mẫu cho $c^2$ đặt $t = \dfrac{a}{c}$) để tìm GTLN của biểu thức $\dfrac{(6a+10c)^2}{5a^2 + 12ac + 10c^2}$.

Bằng đạo hàm, dễ dàng tìm được GTLN của biểu thức này bằng $10$ khi $a = 0$.

$\Rightarrow d(A, (P)) \le 2\sqrt{10} + \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$.

Giá trị này xấp xỉ $9,486 \approx 9,5$.

Đáp án cần điền là: 9,5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.