Cho hàm số $y = \dfrac{ax^{2} + bx + c}{mx + n}$ có đồ thị như hình vẽ sau:Những phương án nào

Câu hỏi số 948403:

Vận dụng

Cho hàm số $y = \dfrac{ax^{2} + bx + c}{mx + n}$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( {- 2;0} \right)$

B. Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận xiên $y = x + 1$

C. Gọi $A,B$ là hai điểm cực trị của hàm số đã cho, diện tích tam giác $OAB$ bằng 8 (với $O$ là gốc tọa độ)

D. Một trục đối xứng của đồ thị đã cho là $d:y = \left( {x + 1} \right)\text{tan}\dfrac{3\pi}{8}$.

Đáp án đúng là: B; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948403

Phương pháp giải

Quan sát đồ thị để xác định tập xác định, các khoảng đơn điệu, đường tiệm cận và tọa độ các điểm cực trị.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác dựa vào tọa độ đỉnh và tính chất trục đối xứng của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất.

Giải chi tiết

a) Từ đồ thị, ta thấy hàm số có đường tiệm cận đứng $x = - 1$ nên hàm số không xác định tại $x = - 1$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $( - 2; - 1)$ và $( - 1;0)$. Do đó, kết luận hàm số nghịch biến trên toàn bộ khoảng $( - 2;0)$ là không chính xác. Vậy ý a sai.

b) Quan sát đồ thị, đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm có tọa độ $( - 1;0)$ và $(0;1)$. Gọi phương trình đường tiệm cận xiên là $y = ax + b$.

Thay tọa độ $( - 1;0)$ vào phương trình, ta có: $- a + b = 0$.

Thay tọa độ $(0;1)$ vào phương trình, ta có: $b = 1$.

Từ đó suy ra $a = 1$. Vậy phương trình đường tiệm cận xiên là $y = x + 1$. Vậy ý b đúng.

c) Dựa vào đồ thị, tọa độ hai điểm cực trị là điểm cực đại $A( - 2; - 2)$ và điểm cực tiểu $B(0;2)$.

Điểm B nằm trên trục tung Oy nên độ dài đoạn $OB = 2$.

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng chứa đoạn OB (trục Oy) chính là giá trị tuyệt đối hoành độ của điểm A, suy ra chiều cao $\left. h = \middle| - 2 \middle| = 2 \right.$.

Diện tích tam giác OAB là $S = \dfrac{1}{2} \cdot OB \cdot h = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$. Theo đề bài diện tích bằng 8 là không đúng. Vậy ý c sai.

d) Giao điểm của đường tiệm cận đứng $x = - 1$ và đường tiệm cận xiên $y = x + 1$ là điểm $I( - 1;0)$. Đây là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Đồ thị có hai trục đối xứng đi qua tâm I và là đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Tiệm cận xiên $y = x + 1$ có hệ số góc bằng 1 nên góc hợp bởi tiệm cận xiên và chiều dương trục Ox là $\dfrac{\pi}{4}$.

Tiệm cận đứng $x = - 1$ vuông góc với trục hoành nên góc hợp bởi nó và chiều dương trục Ox là $\dfrac{\pi}{2}$.

Góc hợp bởi một trục đối xứng và chiều dương trục Ox là trung bình cộng của hai góc trên: $\dfrac{\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2}}{2} = \dfrac{3\pi}{8}$.

Trục đối xứng đi qua $I( - 1;0)$ với góc nghiêng $\dfrac{3\pi}{8}$ có phương trình là: $y - 0 = \tan(\dfrac{3\pi}{8}) \cdot (x - ( - 1))$, tương đương $y = (x + 1)\tan\dfrac{3\pi}{8}$. Vậy ý d đúng.

Đáp án cần chọn là: B; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.