Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A\left( {10;3;0} \right)$ và chuyển động đều theo đường

Câu hỏi số 948404:

Vận dụng

Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A\left( {10;3;0} \right)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u} = \left( {2; - 2;1} \right)$ với tốc độ là $4,5\left( {\text{m}/\text{s}} \right)$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) được mô hình hóa như các hình vẽ sau:

Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Phương trình chính tắc của đường cáp là $\dfrac{x - 10}{2} = \dfrac{y - 3}{- 2} = \dfrac{z}{1}$

B. Giả sử sau $t$ giây kể từ lúc xuất phát $\left( {t \geq 0} \right)$, cabin đến vị trí điểm $M$. Khi đó tọa độ của điểm $M$ là $\left( {3t + 10; - 3t + 3;\dfrac{3t}{2}} \right)$

C. Cabin dừng ở điểm $B$ có hoành độ $x_{B} = 550$. Quãng đường $AB$ có độ dài bằng $810\left( \text{m} \right)$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)

D. Đường cáp $AB$ tạo với mặt (Oxy) một góc $22^{\circ}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ)

Đáp án đúng là: A; B; C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948404

Phương pháp giải

Sử dụng phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $M(x_{0};y_{0};z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = (a;b;c)$.

Sử dụng công thức tính quãng đường chuyển động đều: $S = v.t$.

Xác định tọa độ điểm dựa vào độ dài và hướng của vectơ.

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thông qua vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: $\sin\alpha = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{n} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| . \middle| \overset{\rightarrow}{n} \right|}$.

Giải chi tiết

a) Đường cáp đi qua điểm $A(10;3;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = (2; - 2;1)$.

Phương trình chính tắc của đường cáp là: $\left. \dfrac{x - 10}{2} = \dfrac{y - 3}{- 2} = \dfrac{z - 0}{1}\Leftrightarrow\dfrac{x - 10}{2} = \dfrac{y - 3}{- 2} = \dfrac{z}{1} \right.$.

Vậy phương án a đúng.

b) Quãng đường cabin đi được sau t giây là $S = v.t = 4,5t$.

Vì cabin chuyển động trên đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = (2; - 2;1)$ xuất phát từ $A$, nên vectơ $\overset{\rightarrow}{AM}$ cùng hướng với $\overset{\rightarrow}{u}$.

Giả sử $\overset{\rightarrow}{AM} = k.\overset{\rightarrow}{u} = (2k; - 2k;k)$ với $k \geq 0$.

Độ dài đoạn AM chính là quãng đường đi được: $\left. AM = \middle| \overset{\rightarrow}{AM} \middle| = \sqrt{{(2k)}^{2} + {( - 2k)}^{2} + k^{2}} = \sqrt{9k^{2}} = 3k \right.$.

Ta có $\left. AM = S\Rightarrow 3k = 4,5t\Rightarrow k = 1,5t \right.$.

Suy ra $\overset{\rightarrow}{AM} = (2.1,5t; - 2.1,5t;1,5t) = (3t; - 3t;\dfrac{3t}{2})$.

Gọi $M(x;y;z)$, ta có $\overset{\rightarrow}{AM} = (x - 10;y - 3;z - 0)$.

Suy ra $\left. x - 10 = 3t\Rightarrow x = 3t + 10 \right.$; $\left. y - 3 = - 3t\Rightarrow y = - 3t + 3 \right.$; $z = \dfrac{3t}{2}$.

Tọa độ điểm M là $(3t + 10; - 3t + 3;\dfrac{3t}{2})$.

Vậy phương án b đúng.

c) Cabin dừng ở điểm B nên điểm B có tọa độ dạng $(3t + 10; - 3t + 3;\dfrac{3t}{2})$.

Hoành độ của $B$ là $\left. x_{B} = 550\Rightarrow 3t + 10 = 550\Rightarrow 3t = 540\Rightarrow t = 180 \right.$.

Thời gian cabin đi từ A đến B là 180 giây.

Quãng đường AB có độ dài là: $AB = v.t = 4,5.180 = 810$ (m).

Vậy phương án c đúng.

d) Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$, nhận vectơ $\overset{\rightarrow}{n} = (0;0;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường cáp có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = (2; - 2;1)$.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường cáp AB và mặt phẳng $(Oxy)$.

Ta có $\sin\alpha = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{n} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| . \middle| \overset{\rightarrow}{n} \right|} = \dfrac{\left| 2.0 + ( - 2).0 + 1.1 \right|}{\sqrt{2^{2} + {( - 2)}^{2} + 1^{2}}.\sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{9}.1} = \dfrac{1}{3}$.

Suy ra $\alpha \approx 19,47^{{^\circ}}$. Làm tròn đến hàng đơn vị của độ là $19^{{^\circ}}$.

Vậy phương án d sai.

Đáp án cần chọn là: A; B; C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.