Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình

Câu hỏi số 948418:

Vận dụng

Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh $x\left( \text{cm} \right)$, chiều cao là $h\left( \text{cm} \right)$ và thể tích là $4000\text{~cm}^{3}$. Tìm $x\left( \text{cm} \right)$ sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 20

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948418

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật: $V = S.h$.

Thiết lập công thức tính diện tích toàn phần của hộp không nắp (tổng diện tích các mặt của mảnh các tông): $S = S_{d} + S_{xq}$.

Rút h theo x từ công thức thể tích, thay vào công thức diện tích để được hàm số $S(x)$.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) hoặc đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $S(x)$

Giải chi tiết

Thể tích của chiếc hộp là: $\left. V = x^{2} \cdot h = 4000\Rightarrow h = \dfrac{4000}{x^{2}} \right.$

Chiếc hộp không có nắp nên diện tích bìa các tông cần dùng (diện tích toàn phần của hộp) là:

$S = x^{2} + 4 \cdot x \cdot h$

Thay $h = \dfrac{4000}{x^{2}}$ vào biểu thức $S$, ta được: $S = x^{2} + 4 \cdot x \cdot \dfrac{4000}{x^{2}} = x^{2} + \dfrac{16000}{x}$

Để tốn ít bìa nhất, ta cần tìm $x > 0$ sao cho $S$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:

$S = x^{2} + \dfrac{8000}{x} + \dfrac{8000}{x} \geq 3 \cdot \sqrt[3]{x^{2} \cdot \dfrac{8000}{x} \cdot \dfrac{8000}{x}}$

$S \geq 3 \cdot \sqrt[3]{64000000} = 3 \cdot 400 = 1200$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\left. x^{2} = \dfrac{8000}{x}\Leftrightarrow x^{3} = 8000\Leftrightarrow x = 20\text{~(cm)} \right.$

Vậy với $x = 20$ cm thì chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

Đáp án cần điền là: 20

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.