Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,AD = 2a$. Hình chiếu vuông góc

Câu hỏi số 948417:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,AD = 2a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng đáy là trung điểm $H$ của $AD$, góc giữa $SB$ và mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$ là $45^{\circ}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BH$ theo $a$ được kết quả là $ma$. Khi đó giá trị $\dfrac{3}{5}m^{2}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 0,24

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948417

Phương pháp giải

Xác định chiều cao SH dựa vào góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa hoặc phương pháp dựng hình phụ để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SD và BH được tính bằng khoảng cách từ một đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường kia và song song với nó.

Giải chi tiết

H là trung điểm $\left. AD\Rightarrow AH = HD = a \right.$.

Xét tam giác AHB vuông tại A: $BH = \sqrt{AH^{2} + AB^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2}$.

Vì $SH\bot(ABCD)$ nên góc giữa SB và (ABCD) là góc $\widehat{SBH} = 45^{{^\circ}}$.

Tam giác SHB vuông cân tại $\left. H\Rightarrow SH = BH = a\sqrt{2} \right.$.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với $H(0;0;0)$, $A( - a;0;0)$, $D(a;0;0)$, $B( - a;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$.

Tọa độ các vectơ: $\overset{\rightarrow}{SD} = (a;0; - a\sqrt{2})$, $\overset{\rightarrow}{BH} = (a; - a;0)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ chứa SD và song song với BH:

$\overset{\rightarrow}{n} = \lbrack\overset{\rightarrow}{SD},\overset{\rightarrow}{BH}\rbrack = ( - a^{2}\sqrt{2}; - a^{2}\sqrt{2}; - a^{2}) = - a^{2}(\sqrt{2};\sqrt{2};1)$.

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $D(a;0;0)$ có dạng:

$\left. \sqrt{2}(x - a) + \sqrt{2}y + z = 0\Leftrightarrow\sqrt{2}x + \sqrt{2}y + z - a\sqrt{2} = 0 \right.$.

Khoảng cách giữa SD và BH:

$d(SD,BH) = d(B,(\alpha)) = \dfrac{\left| {\sqrt{2}( - a) + \sqrt{2}.a + 0 - a\sqrt{2}} \right|}{\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = a\sqrt{\dfrac{2}{5}}$.

Vậy $m = \sqrt{\dfrac{2}{5}}$ nên $m^{2} = \dfrac{2}{5}$ và $\dfrac{3}{5}m^{2} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{25} = 0,24$.

Đáp án cần điền là: 0,24

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.