Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left\lbrack {- 2024;2024} \right\rbrack$ để hàm

Câu hỏi số 948420:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left\lbrack {- 2024;2024} \right\rbrack$ để hàm số $y = \dfrac{\text{sin}x + m}{\text{sin}x - 1}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {\dfrac{\pi}{2};\pi} \right)$ ?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2023

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948420

Phương pháp giải

Đặt $t = \sin x$. Xác định khoảng của $t$ khi $x \in (\dfrac{\pi}{2};\pi)$.

Xét tính đơn điệu của t theo x để xác định yêu cầu bài toán đối với hàm số theo biến t.

Hàm số phân thức bậc nhất $y = \dfrac{at + b}{ct + d}$ nghịch biến trên một khoảng khi $y' < 0$ và nghiệm của mẫu không thuộc khoảng đó.

Giải chi tiết

Đặt $t = \sin x$. Với $x \in (\dfrac{\pi}{2};\pi)$, ta có $t \in (0;1)$.

Vì $x \in (\dfrac{\pi}{2};\pi)$ nên $\cos x < 0$.

Do $t' = \cos x < 0$, nên $t$ nghịch biến trên $(\dfrac{\pi}{2};\pi)$.

Để hàm số $y = \dfrac{t + m}{t - 1}$ nghịch biến trên $x \in (\dfrac{\pi}{2};\pi)$ thì hàm số $f(t) = \dfrac{t + m}{t - 1}$ phải đồng biến trên $t \in (0;1)$.

Xét $f'(t) = \dfrac{- 1 - m}{{(t - 1)}^{2}}$.

Điều kiện để hàm số đồng biến trên $(0;1)$ là: $\left\{ \begin{array}{l} {f'(t) > 0} \\ {1 \notin (0;1)\text{~(luôn~dúng)}} \end{array} \right.$

$\left. \Leftrightarrow - 1 - m > 0\Leftrightarrow m < - 1 \right.$.

Vì m là số nguyên và $m \in \lbrack - 2024;2024\rbrack$, suy ra $m \in \left\{ - 2024; - 2023;...; - 2 \right\}$.

Số giá trị nguyên của $m$ là: $( - 2) - ( - 2024) + 1 = 2023$.

Đáp án cần điền là: 2023

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.