Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$và hàm số $y = f'(x)$là hàm số bậc ba có đồ
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$và hàm số $y = f'(x)$là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.
Những phương án nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: E
Quảng cáo
- Bước 1: Dựa vào các điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số bậc ba $y = f'(x)$ để xác định biểu thức của $f'(x)$
- Bước 2: Sử dụng dấu của đạo hàm $f'(x)$ để xét tính đơn điệu và cực trị của hàm số $f(x)$.
- Bước 3: Tính đạo hàm $g'(x)$, tìm nghiệm và lập bảng xét dấu để kiểm tra tính đơn điệu của hàm số $g(x)$.
1. Xác định hàm số $f'(x)$:
Đồ thị hàm số bậc ba $y = f'(x)$ đi qua các điểm $( - 3; - 4)$, $( - 2;0)$, $( - 1; - 2)$, $(0; - 4)$, $(1;0)$.
Vì đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại $x = - 2$ và cắt trục hoành tại $x = 1$ nên hàm số có dạng:
$f'(x) = a{(x + 2)}^{2}(x - 1)$
Thay điểm $(0; - 4)$ vào ta có: $\left. a{(0 + 2)}^{2}(0 - 1) = - 4\Leftrightarrow - 4a = - 4\Leftrightarrow a = 1 \right.$.
Vậy $f'(x) = {(x + 2)}^{2}(x - 1) = x^{3} + 3x^{2} - 4$.
2. Kiểm tra các phương án:
- Phương án a: Với $x \in ( - \infty; - 2)$, ta có ${(x + 2)}^{2} > 0$ và $x - 1 < - 3 < 0$, suy ra $f'(x) < 0$. Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $( - \infty; - 2)$. $\Rightarrow$ Sai.
- Phương án b: Phương trình $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow x = - 2 \right.$ hoặc $x = 1$. Tuy nhiên, $x = - 2$ là nghiệm kép nên $f'(x)$ không đổi dấu khi qua $x = - 2$. $f'(x)$ chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn $x = 1$. Vậy hàm số chỉ có 1 điểm cực trị. $\Rightarrow$ Sai.
- Phương án c: Ta có $f'(2) = {(2 + 2)}^{2}(2 - 1) = 16$. $\Rightarrow$ Sai.
- Phương án d: Vì $f'(x)$ không đổi dấu khi qua $x = - 2$ nên $x = - 2$ không phải là điểm cực trị của hàm số. $\Rightarrow$ Sai.
- Phương án e: Xét hàm số $g(x) = f(x) - \dfrac{1}{2}x^{2} + x + 2024$.
Đạo hàm: $g'(x) = f'(x) - x + 1$.
Thay $f'(x)$ vào: $g'(x) = (x^{3} + 3x^{2} - 4) - x + 1 = x^{3} + 3x^{2} - x - 3$.
Phân tích thành nhân tử: $g'(x) = x^{2}(x + 3) - (x + 3) = (x^{2} - 1)(x + 3) = (x - 1)(x + 1)(x + 3)$.
Xét dấu $g'(x)$:
$\left. g'(x) > 0\Leftrightarrow x \in ( - 3; - 1) \cup (1; + \infty) \right.$.
Vì khoảng $\left( {- \dfrac{5}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right) \subset ( - 3; - 1)$ nên $g'(x) > 0$ với mọi $x \in \left( {- \dfrac{5}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right)$.
Vậy hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $\left( {- \dfrac{5}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right)$. $\Rightarrow$ Đúng.
Đáp án cần chọn là: E
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
