Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và tam giác $SAB$ đều nằm trong mặt phẳng vuông

Câu hỏi số 948600:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và tam giác $SAB$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD$ bằng $\sqrt{21}$. Hãy cho biết cạnh đáy bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 7

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948600

Phương pháp giải

Xác định khoảng cách bằng công thức tính thể tích khối chóp$V_{S.ABD} = \dfrac{1}{3}S.h = \dfrac{1}{6}SA.BD.d_{(SA,BD)}.\sin\left( {SA,BD} \right)$

Giải chi tiết

Giả sử $AB = a$. Gọi $H$ là trung điểm của $\left. AB\Rightarrow SH\bot AB\Rightarrow SH\bot\left( {ABCD} \right) \right.$

Ta có $\overset{\rightarrow}{SA}.\overset{\rightarrow}{BD} = \left( {\overset{\rightarrow}{SH} + \overset{\rightarrow}{HA}} \right)\left( {\overset{\rightarrow}{BA} + \overset{\rightarrow}{BC}} \right) = \overset{\rightarrow}{HA}.\overset{\rightarrow}{BA} = \dfrac{1}{2}a^{2}$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2}\sqrt 2 .{\mkern 1mu} \cos \left( {\mathop {SA}\limits^ \to ,\mathop {BD}\limits^ \to } \right) = \dfrac{1}{2}{a^2} \Leftrightarrow \cos \left( {\mathop {SA}\limits^ \to ,\mathop {BD}\limits^ \to } \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow \sin \left( {SA,BD} \right) = \sqrt {\dfrac{7}{8}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \left. V_{SABCD} = \dfrac{1}{3}SH.AB.AD = \dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a^{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}a^{3}\Rightarrow V_{SABD} = \dfrac{\sqrt{3}}{12}a^{3} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\dfrac{1}{6}SA.BD.d_{(SA,BD)}.\sin\left( {SA,BD} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{12}a^{3} \right. \\ \left. \Leftrightarrow\dfrac{1}{6}a.a\sqrt{2}.\sqrt{21}.\sqrt{\dfrac{7}{8}} = \dfrac{\sqrt{3}}{12}a^{3}\Leftrightarrow a = 7 \right. \end{array}$

Đáp án cần điền là: 7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.