Trong không gian $Oxyz$, có tất cả bao nhiêu giá nguyên của $m$ để phương trình$x^{2} + y^{2} + z^{2}

Câu hỏi số 948601:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, có tất cả bao nhiêu giá nguyên của $m$ để phương trình

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2\left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m - 1} \right)z + 3m^{2} - 5 = 0$ là phương trình một mặt cầu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 7

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948601

Phương pháp giải

- Phương trình dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$.

- Tìm các hệ số $a, b, c, d$ theo tham số $m$.

- Giải bất phương trình $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ để tìm điều kiện của $m$.

- Liệt kê các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện.

Giải chi tiết

Xét phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m + 2)x - 2(m - 1)z + 3m^{2} - 5 = 0$.

Các hệ số của phương trình là:

- $a = \dfrac{2(m + 2)}{- 2} = - (m + 2)$

- $b = 0$

- $c = \dfrac{- 2(m - 1)}{- 2} = m - 1$

- $d = 3m^{2} - 5$

Để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu, điều kiện cần và đủ là:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

$\left. \Leftrightarrow{\lbrack - (m + 2)\rbrack}^{2} + 0^{2} + {(m - 1)}^{2} - (3m^{2} - 5) > 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow(m^{2} + 4m + 4) + (m^{2} - 2m + 1) - 3m^{2} + 5 > 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow - m^{2} + 2m + 10 > 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow m^{2} - 2m - 10 < 0 \right.$

Giải bất phương trình bậc hai $m^{2} - 2m - 10 < 0$:

Tam thức bậc hai có hai nghiệm là $m = 1 - \sqrt{11}$ và $m = 1 + \sqrt{11}$.

Do đó: $1 - \sqrt{11} < m < 1 + \sqrt{11}$.

Ta có $\sqrt{11} \approx 3,316$, nên:

$1 - 3,316 < m < 1 + 3,316$

$\left. \Leftrightarrow - 2,316 < m < 4,316 \right.$

Vì $m$ là số nguyên nên $m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2;3;4 \right\}$.

Số lượng các giá trị nguyên của $m$ là $7$.

Đáp án cần điền là: 7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.