Cho hàm số $f(x) = a\ln\left( {x + \sqrt{x^{2} + 1}} \right) + b\sin x + 6$ với $a,b \in {\mathbb{R}}$. Biết

Câu hỏi số 948698:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = a\ln\left( {x + \sqrt{x^{2} + 1}} \right) + b\sin x + 6$ với $a,b \in {\mathbb{R}}$. Biết $f\left\lbrack {\log\left( {\log e} \right)} \right\rbrack = 2$, tính giá trị của biểu thức $T = f\left\lbrack {\log\left( {\ln 10} \right)} \right\rbrack + 2$.

A. $8$.

B. $10$.

C. $14$.

D. $12$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948698

Phương pháp giải

Xét tính lẻ của phần hàm số chứa biến $x$. Sử dụng các tính chất của logarit để tìm mối liên hệ giữa các giá trị đối số trong đề bài.

Giải chi tiết

Đặt $g(x) = a\ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}) + b\sin x$.

Ta có $f(x) = g(x) + 6$.

Xét hàm số $g(x)$ trên tập xác định $D = {\mathbb{R}}$:

$g( - x) = a\ln( - x + \sqrt{{( - x)}^{2} + 1}) + b\sin( - x) = a\ln(\sqrt{x^{2} + 1} - x) - b\sin x$.

Nhận xét: $\left. (\sqrt{x^{2} + 1} - x)(\sqrt{x^{2} + 1} + x) = x^{2} + 1 - x^{2} = 1\Rightarrow\sqrt{x^{2} + 1} - x = {(x + \sqrt{x^{2} + 1})}^{- 1} \right.$.

Suy ra: $g( - x) = a\ln{(x + \sqrt{x^{2} + 1})}^{- 1} - b\sin x = - a\ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}) - b\sin x = - g(x)$.

Do đó $g(x)$ là hàm số lẻ.

Mặt khác, ta có $\log e = \dfrac{\ln e}{\ln 10} = \dfrac{1}{\ln 10} = {(\ln 10)}^{- 1}$.

Suy ra $\log(\log e) = \log{(\ln 10)}^{- 1} = - \log(\ln 10)$.

Theo giả thiết: $\left. f\lbrack\log(\log e)\rbrack = 2\Rightarrow g\lbrack - \log(\ln 10)\rbrack + 6 = 2\Rightarrow g\lbrack - \log(\ln 10)\rbrack = - 4 \right.$.

Vì $g(x)$ là hàm lẻ nên $\left. g\lbrack - \log(\ln 10)\rbrack = - g\lbrack\log(\ln 10)\rbrack = - 4\Rightarrow g\lbrack\log(\ln 10)\rbrack = 4 \right.$.

Giá trị của biểu thức $T$ là: $T = f\lbrack\log(\ln 10)\rbrack + 2 = g\lbrack\log(\ln 10)\rbrack + 6 + 2 = 4 + 8 = 12$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.