Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A\left( {1;0; - 2} \right),\mspace{6mu} B\left( {- 2;3;4}

Câu hỏi số 948703:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A\left( {1;0; - 2} \right),\mspace{6mu} B\left( {- 2;3;4} \right),\, C\left( {4; - 6;1} \right)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác là $\left( {1; - 1;1} \right)$.

B. $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {3; - 3;6} \right),\,\ \overset{\rightarrow}{AC} = \left( {- 3;6; - 3} \right).$

C. Tam giác $ABC$là tam giác cân.

D. Nếu $ABDC$ là hình bình hành thì tọa độ điểm $D$ là $\left( {7; - 9; - 5} \right)$.

Đáp án đúng là: A; C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948703

Phương pháp giải

- Công thức tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác ABC: $G\left( {\dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3};\dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3};\dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3}} \right)$.

- Công thức tọa độ vectơ: $\overset{\rightarrow}{AB} = (x_{B} - x_{A};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A})$.

- Công thức tính độ dài đoạn thẳng: $AB = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$.

- Tính chất hình bình hành ABDC: Hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, hay $\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{CD}$.

Giải chi tiết

Xét phương án a:

Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác ABC là:

$x_{G} = \dfrac{1 + ( - 2) + 4}{3} = 1$

$y_{G} = \dfrac{0 + 3 + ( - 6)}{3} = - 1$

$z_{G} = \dfrac{- 2 + 4 + 1}{3} = 1$

Vậy $G(1; - 1;1)$. Phương án a đúng.

Xét phương án b:

Ta có:

$\overset{\rightarrow}{AB} = ( - 2 - 1;3 - 0;4 - ( - 2)) = ( - 3;3;6)$

$\overset{\rightarrow}{AC} = (4 - 1; - 6 - 0;1 - ( - 2)) = (3; - 6;3)$

Đối chiếu với phương án b: $\overset{\rightarrow}{AB} = (3; - 3;6)$ và $\overset{\rightarrow}{AC} = ( - 3;6; - 3)$ là sai về dấu của các thành phần tọa độ. Phương án b sai.

Xét phương án c:

Tính độ dài các cạnh của tam giác:

$AB = \sqrt{{( - 3)}^{2} + 3^{2} + 6^{2}} = \sqrt{9 + 9 + 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$

$AC = \sqrt{3^{2} + {( - 6)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$

$BC = \sqrt{{(4 - ( - 2))}^{2} + {( - 6 - 3)}^{2} + {(1 - 4)}^{2}} = \sqrt{6^{2} + {( - 9)}^{2} + {( - 3)}^{2}} = \sqrt{36 + 81 + 9} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$

Vì $AB = AC = 3\sqrt{6}$ nên tam giác ABC cân tại $A$. Phương án c đúng.

Xét phương án d:

Để ABDC là hình bình hành thì $\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{CD}$. Gọi $D(x;y;z)$:

$\overset{\rightarrow}{AB} = ( - 3;3;6)$

$\overset{\rightarrow}{CD} = (x - 4;y - ( - 6);z - 1) = (x - 4;y + 6;z - 1)$

Ta có hệ phương trình:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {x - 4 = - 3} \\ {y + 6 = 3} \\ {z - 1 = 6} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 1} \\ {y = - 3} \\ {z = 7} \end{array} \right. \right.$

Vậy $D(1; - 3;7)$. Tọa độ $(7; - 9; - 5)$ trong đề bài là tọa độ điểm $D$ để ABCD là hình bình hành. Phương án d sai.

Đáp án cần chọn là: A; C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.