Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{array}{l} {x = 3 +

Câu hỏi số 948705:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{array}{l} {x = 3 + t} \\ {y = - 1 - t} \\ {z = - 2 + t} \end{array} \right.,\,\,\,\left( {t \in {\mathbb{R}}} \right)$, điểm $M\left( {1;2; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 10y + 14z + 64 = 0$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u} = \left( {1; - 1;1} \right)$.

B. Mặt phẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ là $x - y + z - 2 = 0$.

C. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( {2; - 5; - 7} \right)$, bán kính $R = \sqrt{14}$.

D. Gọi $\Delta'$ là đường thẳng đi qua $M$ cắt đường thẳng $\Delta$ tại $A$, cắt mặt cầu tại $B$ sao cho $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{1}{3}$ và điểm $B$ có hoành độ là số nguyên. Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ có phương trình là $2x - 4y - 4z - 43 = 0$.

Đáp án đúng là: A; C; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948705

Phương pháp giải

- Kiểm tra vectơ chỉ phương của đường thẳng từ hệ phương trình tham số.

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng (nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng làm vectơ pháp tuyến).

- Xác định tâm và bán kính mặt cầu từ phương trình tổng quát $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $I(a;b;c)$ và $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$.

- Sử dụng phương pháp tham số hóa điểm thuộc đường thẳng và tỉ lệ vectơ để tìm tọa độ điểm.

Giải chi tiết

Xét phương án a:

Từ phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$, ta thấy các hệ số của tham số $t$ lần lượt là $1, - 1,1$. Do đó, một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{u} = (1; - 1;1)$.

$\Rightarrow$ Phương án a Đúng.

Xét phương án b:

Mặt phẳng vuông góc với $\Delta$ nên nhận $\overset{\rightarrow}{u} = (1; - 1;1)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng đi qua $M(1;2; - 1)$ là:

$\left. 1(x - 1) - 1(y - 2) + 1(z + 1) = 0\Leftrightarrow x - y + z + 2 = 0 \right.$

Đối chiếu với đề bài $x - y + z - 2 = 0$, ta thấy sai dấu.

$\Rightarrow$ Phương án b Sai.

Xét phương án c:

Phương trình mặt cầu $(S)$ có các hệ số $a = \dfrac{- 4}{- 2} = 2$, $b = \dfrac{10}{- 2} = - 5$, $c = \dfrac{14}{- 2} = - 7$ và $d = 64$.

Tâm $I(2; - 5; - 7)$. Bán kính $R = \sqrt{2^{2} + {( - 5)}^{2} + {( - 7)}^{2} - 64} = \sqrt{4 + 25 + 49 - 64} = \sqrt{14}$.

$\Rightarrow$ Phương án c Đúng.

Xét phương án d:

- Vì $A \in \Delta$ nên $A(3 + t; - 1 - t; - 2 + t)$. Ta có $\overset{\rightarrow}{MA} = (t + 2; - t - 3;t - 1)$.

- Vì M, A, B cùng nằm trên đường thẳng $\Delta'$ và $\left. \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{1}{3}\Rightarrow AB = 3AM \right.$.

- Có hai trường hợp xảy ra cho vị trí của $B$:

+ Trường hợp 1: $\left. \overset{\rightarrow}{MB} = 4\overset{\rightarrow}{MA} = (4t + 8; - 4t - 12;4t - 4)\Rightarrow B(4t + 9; - 4t - 10;4t - 5) \right.$.

Thay tọa độ $B$ vào phương trình mặt cầu $(S)$:

${(4t + 9)}^{2} + {( - 4t - 10)}^{2} + {(4t - 5)}^{2} - 4(4t + 9) + 10( - 4t - 10) + 14(4t - 5) + 64 = 0$

$\left. \Leftrightarrow 48t^{2} + 112t + 64 = 0\Leftrightarrow 3t^{2} + 7t + 4 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = - 1} \\ {t = - \dfrac{4}{3}} \end{array} \right. \right.$

Với $t = - 1$, ta có $B(5; - 6; - 9)$ (hoành độ $x_{B} = 5$ là số nguyên, thỏa mãn). Khi đó $A(2;0; - 3)$.

+ Trường hợp 2: $\left. \overset{\rightarrow}{MB} = - 2\overset{\rightarrow}{MA}\Rightarrow B( - 2t - 3;2t + 8; - 2t + 1) \right.$. Thay vào $(S)$ ta được phương trình $12t^{2} + 40t + 244 = 0$ (vô nghiệm).

- Với $A(2;0; - 3)$ và $B(5; - 6; - 9)$:

+ Trung điểm của AB là $K\left( {\dfrac{7}{2}; - 3; - 6} \right)$.

+ Vectơ $\overset{\rightarrow}{AB} = (3; - 6; - 6) = 3(1; - 2; - 2)$.

+ Phương trình mặt phẳng trung trực của AB: $\left. 1\left( {x - \dfrac{7}{2}} \right) - 2(y + 3) - 2(z + 6) = 0\Leftrightarrow 2x - 4y - 4z - 43 = 0 \right.$.

$\Rightarrow$ Phương án d Đúng.

Đáp án cần chọn là: A; C; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.