Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$và hàm số $y = f'(x)$là hàm số bậc ba có đồ

Câu hỏi số 948707:
Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$và hàm số $y = f'(x)$là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

A black background with a black square Description automatically generated with medium confidence

Những phương án nào dưới đây đúng?

Đáp án đúng là: E

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:948707
Phương pháp giải

Dựa vào các điểm đặc biệt trên đồ thị để xác định biểu thức của hàm số $f'(x)$.

Sử dụng mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm $f'(x)$ và tính đơn điệu, cực trị của hàm số $f(x)$.

Tính đạo hàm của hàm số $g(x)$ và xét dấu đạo hàm $g'(x)$ để kết luận về tính đơn điệu của hàm số $g(x)$.

Giải chi tiết

Từ đồ thị, ta thấy $y = f'(x)$ là hàm số bậc ba, có điểm cực đại là $(-2; 0)$ và điểm cực tiểu là $(0; -4)$.

Gọi phương trình của $f'(x)$ có dạng $f'(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$).

Ta có đạo hàm của $f'(x)$ là $f''(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.

Vì hàm số đạt cực trị tại $x = -2$ và $x = 0$ nên $f''(-2) = 0$ và $f''(0) = 0$.

Từ $f''(0) = 0$ suy ra $c = 0$.

Từ $f''(-2) = 0$ suy ra $12a - 4b = 0$, hay $b = 3a$.

Đồ thị đi qua điểm $(0; -4)$ nên thay $x = 0, y = -4$ vào phương trình $f'(x)$ ta được $d = -4$.

Đồ thị đi qua điểm $(-2; 0)$ nên thay $x = -2, y = 0$ vào phương trình $f'(x)$ ta được $a(-2)^3 + b(-2)^2 - 4 = 0$, suy ra $-8a + 4b - 4 = 0$.

Thay $b = 3a$ vào phương trình trên, ta được $-8a + 4(3a) - 4 = 0 \Leftrightarrow 4a = 4 \Leftrightarrow a = 1$.

Suy ra $b = 3$.

Vậy biểu thức của đạo hàm là $f'(x) = x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2$.

Xét các mệnh đề:

a) Cho $f'(x) < 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 2)^2 < 0 \Leftrightarrow x < 1$ và $x \neq -2$.

Do đó hàm số $f(x)$ nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(-2; 1)$. Mệnh đề a sai.

b) Phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm $x = 1$ (nghiệm bội lẻ) và $x = -2$ (nghiệm bội chẵn).

Đạo hàm $f'(x)$ chỉ đổi dấu khi đi qua $x = 1$, do đó hàm số $y = f(x)$ chỉ có 1 điểm cực trị.

Mệnh đề b sai.

c) Thay $x = 2$ vào biểu thức $f'(x)$, ta có $f'(2) = 2^3 + 3.2^2 - 4 = 8 + 12 - 4 = 16 \neq 4$.

Mệnh đề c sai.

d) Tại $x = -2$, đạo hàm $f'(x) = 0$ nhưng không đổi dấu (luôn âm khi $x < 1$ và $x \neq -2$), do đó $x = -2$ không phải là điểm cực trị của hàm số. Mệnh đề d sai.

e) Xét hàm số $g(x) = f(x) - \frac{1}{2}x^2 + x + 2024$.

Ta có $g'(x) = f'(x) - x + 1 = (x^3 + 3x^2 - 4) - x + 1 = x^3 + 3x^2 - x - 3$.

Giải phương trình $g'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2(x + 3) - (x + 3) = 0 \Leftrightarrow (x^2 - 1)(x + 3) = 0$.

Phương trình có các nghiệm $x = -3$, $x = -1$, $x = 1$.

Xét dấu $g'(x)$ trên khoảng $(-3; -1)$: chọn giá trị $x = -2 \in (-3; -1)$, ta có $g'(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - (-2) - 3 = 3 > 0$.

Do đó $g'(x) > 0$ với mọi $x \in (-3; -1)$, suy ra hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(-3; -1)$.

Vì khoảng $\left(-\frac{5}{2}; -\frac{3}{2}\right)$ nằm hoàn toàn trong khoảng $(-3; -1)$ nên hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{5}{2}; -\frac{3}{2}\right)$. Mệnh đề e đúng.

Đáp án cần chọn là: E

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn