Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA\bot(ABCD)$,

Câu hỏi số 948716:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA\bot(ABCD)$, số đo của góc nhị diện $\lbrack S,BC,A\rbrack$ bằng $60^{{^\circ}}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ bằng $\dfrac{a\sqrt{30}}{n}$. Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 10

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948716

Phương pháp giải

- Xác định góc nhị diện để tính chiều cao SA của hình chóp.

- Sử dụng phương pháp dựng mặt phẳng song song để chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán.

Giải chi tiết

1. Xác định chiều cao SA:

- Ta có $\left. SA\bot(ABCD)\Rightarrow SA\bot BC \right.$.

- Đáy ABCD là hình vuông nên $AB\bot BC$.

- Suy ra $\left. BC\bot(SAB)\Rightarrow BC\bot SB \right.$.

- Góc nhị diện $\lbrack S,BC,A\rbrack$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$. Giao tuyến của hai mặt phẳng này là BC.

- Vì $SB\bot BC$ và $AB\bot BC$ nên góc nhị diện $\lbrack S,BC,A\rbrack = \angle SBA = 60^{{^\circ}}$.

- Trong tam giác vuông SAB, ta có: $SA = AB \cdot \tan 60^{{^\circ}} = a\sqrt{3}$.

2. Tính khoảng cách giữa SC và BD:

- Gọi $O = AC \cap BD$. Qua $C$ kẻ đường thẳng $\Delta$ song song với BD.

- Khi đó $BD \parallel (S,\Delta)$ nên $d(BD,SC) = d(BD,(S,\Delta)) = d(O,(S,\Delta))$.

- Vì AC cắt $(S,\Delta)$ tại $C$ và $O$ là trung điểm của AC nên $d(O,(S,\Delta)) = \dfrac{1}{2}d(A,(S,\Delta))$.

- Ta có $\Delta \parallel BD$ mà $BD\bot AC$ nên $\Delta\bot AC$. Lại có $\Delta\bot SA$ (do $SA\bot(ABCD)$).

- Suy ra $\Delta\bot(SAC)$. Kẻ $AH\bot SC$ tại $H$. Khi đó $AH\bot\Delta$ (do $\Delta\bot(SAC)$).

- Vậy $AH\bot(S,\Delta)$, suy ra $d(A,(S,\Delta)) = AH$.

- Xét tam giác vuông SAC có $SA = a\sqrt{3}$ và $AC = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$):

$\dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AC^{2}} = \dfrac{1}{{(a\sqrt{3})}^{2}} + \dfrac{1}{{(a\sqrt{2})}^{2}} = \dfrac{1}{3a^{2}} + \dfrac{1}{2a^{2}} = \dfrac{5}{6a^{2}}$

$\left. \Rightarrow AH^{2} = \dfrac{6a^{2}}{5}\Rightarrow AH = \dfrac{a\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \dfrac{a\sqrt{30}}{5} \right.$

- Khoảng cách cần tìm là: $d(SC,BD) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a\sqrt{30}}{5} = \dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.

3. Tìm giá trị của $n$:

- Theo đề bài, $d(SC,BD) = \dfrac{a\sqrt{30}}{n}$.

- Đối chiếu kết quả, ta có $n = 10$.

Đáp án cần điền là: 10

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.