Anh Vinh đang cắm trại dưới tán cây thông ở điểm $X$ cách điểm $A$ một

Câu hỏi số 948717:

Vận dụng

Anh Vinh đang cắm trại dưới tán cây thông ở điểm $X$ cách điểm $A$ một khoảng $3\text{km}$. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Ô tô của anh Vinh đỗ ở vị trí $Y$ cách điểm $B$ một khoảng $3\text{km}\text{.}$ Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng$AB = 18\text{km,}AM = NB = x\text{km}$ và $AX = BY = 3\text{km}$(minh hoạ như hình vẽ).

Khi đang đào vàng, Ông Vinh bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình

y = 50 \log(t + 2)

Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Ông Vinh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Ông ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là $5\text{km/h}$ và $13\text{km/h}$. Để về đến trại Ông Vinh cần chạy từ trong rừng qua điểm $M, N$ trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi ông Vinh về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 32,6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948717

Phương pháp giải

- Thiết lập hàm số biểu diễn tổng thời gian $t$ di chuyển từ $X$ đến $Y$ theo biến $x$.

- Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thời gian $t(x)$ trên miền xác định.

- Thay giá trị $t$ nhỏ nhất tìm được vào phương trình nồng độ chất độc $y = 50\log(t + 2)$ để tìm kết quả.

Giải chi tiết

1. Thiết lập hàm thời gian:

- Theo đề bài, quãng đường di chuyển gồm 3 đoạn: XM, MN và NY.

- Độ dài đoạn XM và NY (áp dụng định lý Pitago trong các tam giác vuông XAM và YBN):

$XM = NY = \sqrt{AX^{2} + AM^{2}} = \sqrt{3^{2} + x^{2}} = \sqrt{x^{2} + 9}\text{(km)}$

- Độ dài đoạn MN trên bờ biển:

$MN = AB - AM - NB = 18 - x - x = 18 - 2x\text{~(km)}$

- Điều kiện của $x$: $\left. 0 \leq 2x \leq 18\Rightarrow 0 \leq x \leq 9 \right.$.

- Tổng thời gian di chuyển $t$ (giờ) là:

$t(x) = \dfrac{XM}{v_{XM}} + \dfrac{MN}{v_{MN}} + \dfrac{NY}{v_{NY}} = \dfrac{\sqrt{x^{2} + 9}}{5} + \dfrac{18 - 2x}{13} + \dfrac{\sqrt{x^{2} + 9}}{5}$

$t(x) = \dfrac{2\sqrt{x^{2} + 9}}{5} + \dfrac{18 - 2x}{13}$

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của $t(x)$:

- Đạo hàm của $t(x)$ theo $x$:

$t'(x) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} - \dfrac{2}{13}$

- Cho $t'(x) = 0$: $\left. \dfrac{2x}{5\sqrt{x^{2} + 9}} = \dfrac{2}{13}\Leftrightarrow 13x = 5\sqrt{x^{2} + 9} \right.$

$\left. \Leftrightarrow 169x^{2} = 25(x^{2} + 9)\Leftrightarrow 144x^{2} = 225\Leftrightarrow x^{2} = \dfrac{225}{144} = \dfrac{25}{16} \right.$

- Vì $x \geq 0$ nên $x = \dfrac{5}{4} = 1,25$ (thỏa mãn điều kiện).

- Lập bảng biến thiên hoặc tính giá trị tại các đầu mút:

+ $t(0) = \dfrac{2 \cdot 3}{5} + \dfrac{18}{13} \approx 2,585$

+ $t(9) = \dfrac{2\sqrt{90}}{5} \approx 3,795$

+ $t(1,25) = \dfrac{2\sqrt{1,25^{2} + 9}}{5} + \dfrac{18 - 2,5}{13} = \dfrac{2 \cdot 3,25}{5} + \dfrac{15,5}{13} = 1,3 + \dfrac{31}{26} = \dfrac{32,4}{13} \approx 2,4923$

- Vậy thời gian ngắn nhất để anh Vinh đến được ô tô là $t \approx 2,4923$ giờ.

3. Tính nồng độ chất độc:

- Thay $t \approx 2,4923$ vào phương trình nồng độ:

$y = 50\log(2,4923 + 2) = 50\log(4,4923)$

- Sử dụng máy tính cầm tay (với $\log$ là logarit cơ số 10):

$y \approx 50 \cdot 0,652466 \approx 32,6233$

- Làm tròn đến hàng phần chục, ta được $y \approx 32,6$.

Đáp án cần điền là: 32,6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.