Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $\dfrac{3}{4}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án đúng là: 0,75
Quảng cáo
1. Tính diện tích đáy:
2. Xác định chiều cao và khoảng cách:
3. Tính chiều cao $h = A'G$:
4. Tính thể tích khối lăng trụ:
1. Tính diện tích đáy:
Tam giác ABC đều cạnh $a = \sqrt{3}$.
Diện tích đáy là: $S_{ABC} = \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{{(\sqrt{3})}^{2}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
2. Xác định chiều cao và khoảng cách:
Gọi $M$ là trung điểm của BC và $G$ là trọng tâm tam giác ABC. Theo giả thiết, $A'G\bot(ABC)$.
Ta có $AM = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{2}$.
$AG = \dfrac{2}{3}AM = 1$ và $GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{2}$.
Vì $BC\bot AM$ và $BC\bot A'G$ nên $BC\bot(A'AM)$.
Trong mặt phẳng $(A'AM)$, kẻ $MH\bot AA'$ tại $H$.
Vì $BC\bot(A'AM)$ nên $BC\bot MH$. Do đó, MH là đoạn vuông góc chung của AA' và BC.
Theo đề bài: $d(AA',BC) = MH = \dfrac{3}{4}$.
3. Tính chiều cao $h = A'G$:
Đặt $A'G = h$ ($h > 0$).
Xét tam giác A'AG vuông tại $G$, ta có: $AA' = \sqrt{AG^{2} + A'G^{2}} = \sqrt{1^{2} + h^{2}} = \sqrt{1 + h^{2}}$.
Diện tích tam giác A'AM có thể tính theo hai cách:
- Cách 1: $S_{A'AM} = \dfrac{1}{2}A'G \cdot AM = \dfrac{1}{2} \cdot h \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3h}{4}$.
- Cách 2: $S_{A'AM} = \dfrac{1}{2}MH \cdot AA' = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \sqrt{1 + h^{2}} = \dfrac{3\sqrt{1 + h^{2}}}{8}$.
Cân bằng hai biểu thức diện tích:
$\left. \dfrac{3h}{4} = \dfrac{3\sqrt{1 + h^{2}}}{8}\Leftrightarrow 2h = \sqrt{1 + h^{2}}\Leftrightarrow 4h^{2} = 1 + h^{2}\Leftrightarrow 3h^{2} = 1\Leftrightarrow h = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right.$
4. Tính thể tích khối lăng trụ:
$V = S_{ABC} \cdot h = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{3}{4} = 0,75$
Đáp án cần điền là: 0,75
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
