Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên. Các tứ giác

Câu hỏi số 948722:

Vận dụng

Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.

Các tứ giác $ABCD,CDPQ$ là các hình vuông cạnh $2,5\, cm$. Tứ giác $ABEF$ là hình chữ nhật có $BE = 3,5\, cm$. Mặt bên$PQEF$được mài nhẵn theo đường parabol $(P)$ có đỉnh parabol nằm trên cạnh $EF.$ Thể tích của chi tiết máy bằng bao nhiêu đơn vị $cm^{3}$ (kết quả làm tròn đến chữ số đầu tiên hàng thập phân)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 19,8

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948722

Phương pháp giải

- Thiết lập hệ trục tọa độ cho mặt cắt ngang của chi tiết máy.

- Xác định phương trình của đường parabol dựa trên các dữ kiện về đỉnh và điểm đi qua.

- Sử dụng tích phân để tính diện tích mặt cắt ngang $S$.

- Thể tích của chi tiết máy (dạng hình lăng trụ có đáy là mặt cắt ngang) được tính theo công thức: $V = S \cdot h$, trong đó $h$ là chiều dài của chi tiết máy.

Giải chi tiết

1. Thiết lập hệ trục tọa độ:

Xét mặt cắt ngang của chi tiết máy là hình phẳng ADPF (do chi tiết có tiết diện không đổi dọc theo cạnh AB).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $A \equiv O(0;0)$, điểm $D$ nằm trên trục Oy và điểm F nằm trên trục Ox.

Khi đó, tọa độ các đỉnh là:

- $A(0;0)$

- $D(0;2,5)$ (do ABCD là hình vuông cạnh $2,5\text{cm}$)

- $F(3,5;0)$ (do ABEF là hình chữ nhật có $AF = BE = 3,5\text{cm}$)

- $P(2,5;2,5)$ (do CDPQ là hình vuông cạnh $2,5\text{cm}$, suy ra $DP = 2,5\text{cm}$ và $DP \parallel AF$)

2. Xác định phương trình đường parabol $(P)$:

Đường cong PF là một phần của parabol có đỉnh nằm trên cạnh EF. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đỉnh này tương ứng với điểm $F(3,5;0)$.

Vì đường cong nối $P(2,5;2,5)$ và $F(3,5;0)$ và có hình dạng lồi ra phía ngoài, ta chọn phương trình parabol có trục đối xứng song song với trục Ox (trục nằm ngang):

$\left. x = ay^{2} + x_{V}\Rightarrow x = ay^{2} + 3,5 \right.$

Do parabol đi qua điểm $P(2,5;2,5)$, ta có:

$\left. 2,5 = a{(2,5)}^{2} + 3,5\Leftrightarrow - 1 = 6,25a\Leftrightarrow a = - \dfrac{1}{6,25} = - 0,16 \right.$

Vậy phương trình đường cong PF là: $x = - 0,16y^{2} + 3,5$ với $y \in \lbrack 0;2,5\rbrack$.

3. Tính diện tích mặt cắt ngang $S$:

Diện tích mặt cắt ADPF được tính bằng tích phân của hàm $x(y)$ theo biến $y$ từ $0$ đến 2,5:

$S = {\int_{0}^{2,5}{( - 0,16y^{2} + 3,5)}}dy = \left\lbrack {- \dfrac{0,16}{3}y^{3} + 3,5y} \right\rbrack_{0}^{2,5}$

$S = - \dfrac{0,16}{3} \cdot {(2,5)}^{3} + 3,5 \cdot 2,5 = - \dfrac{2,5}{3} + 8,75 = \dfrac{23,75}{3}\text{(cm}^{2})$

4. Tính thể tích chi tiết máy:

Chiều dài của chi tiết máy là $h = AB = 2,5\text{cm}$.

Thể tích chi tiết máy là:

$V = S \cdot h = \dfrac{23,75}{3} \cdot 2,5 = \dfrac{59,375}{3} \approx 19,79166...\text{(cm}^{3})$

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được $V \approx 19,8\text{cm}^{3}$.

Đáp án cần điền là: 19,8

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.