Có một hình phẳng $(H)$ (phần tô đậm trong hình vẽ bên) được tạo ra

Câu hỏi số 949934:

Vận dụng

Có một hình phẳng $(H)$ (phần tô đậm trong hình vẽ bên) được tạo ra bằng cách vẽ một hình vuông có cạnh bằng 4. Sau đó, ở bốn góc hình vuông đó vẽ bốn đường cong đều có tính chất là: tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mỗi đường cong đó đến hai trục đối xứng $d_{1},d_{2}$ của hình vuông bằng 2. Khi cho hình phẳng $(H)$ quay quanh trục $d_{1}$, ta sẽ thu được một vật thể tròn xoay, thể tích vật thể tròn xoay đó bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:949934

Phương pháp giải

Đặt hệ trục tọa độ với gốc tọa độ là tâm hình vuông, các trục đối xứng là các trục tọa độ.

Xác định phương trình của các đường cong biên.

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục tung: $V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack {x(y)} \right\rbrack}^{2}dy$.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục Oxy sao cho O là tâm hình vuông, trục Oy là $d_{1}$ và trục Ox là $d_{2}$.

Cạnh hình vuông là 4 nên các biên là $x = \pm 2,y = \pm 2$.

Do hình phẳng $(H)$ có tính đối xứng qua cả trục $Ox$ và $Oy$, nên khi quay toàn bộ hình $(H)$ quanh trục $Oy$, thể tích vật thể thu được sẽ bằng 2 lần thể tích của vật thể do phần hình $(H)$ nằm phía trên trục $Ox$ ($y \ge 0$) quay quanh $Oy$.

Xét phần hình $(H)$ ở góc phần tư thứ nhất ($x \ge 0, y \ge 0$):

- Đường cong là $xy = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2}{y}$.

- Nó cắt biên phải của hình vuông tại điểm $(1; 2)$ và $(2; 1)$.

Phần diện tích nửa trên bên phải của $(H)$ được giới hạn bởi:

- Với $y \in [0, 1]$, biên phải là đường thẳng $x = 2$.

- Với $y \in [1, 2]$, biên phải là đường cong $x = \dfrac{2}{y}$.

Thể tích toàn bộ khối tròn xoay cần tìm là:

V = 2 \cdot V_{\text{nửa trên}} = 2 \cdot \left[ \pi \int_0^1 (2)^2 dy + \pi \int_1^2 \left(\frac{2}{y}\right)^2 dy \right]

V = 2\pi \left( \int_0^1 4 dy + \int_1^2 \frac{4}{y^2} dy \right)

V = 2\pi \left( 4 \cdot y \big|_0^1 - \frac{4}{y} \big|_1^2 \right)

V = 2\pi \left( 4 + (-2 - (-4)) \right) = 2\pi (4 + 2) = 12\pi

Đáp án cần điền là: 37,7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.