Cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H .a) Chứng minh $\Delta ADB \backsim
Cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H .
a) Chứng minh $\Delta ADB \backsim \Delta AEC$ .
b) Chứng minh $\angle ADE = \angle ABC$ .
c) Gọi F là giao điểm của AH và BC, M là giao điểm của EC và DF. Chứng minh $DE.HM = HE.DM$.
Quảng cáo
a) Áp dụng trường hợp đồng dạng góc - góc (g.g) của hai tam giác vuông.
b) Từ hai tam giác đồng dạng ở câu a, lập tỉ số cạnh tương ứng. Kết hợp với góc chung để chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c).
c) Chứng minh các tứ giác AEHD và HDCF nội tiếp để suy ra $\angle HDE = \angle HDF$. Từ đó suy ra DH là tia phân giác của $\angle EDF$. Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác EDM để suy ra hệ thức cần chứng minh.
a) Chứng minh $\Delta ADB \backsim \Delta AEC$ .
Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$ có:
$\angle A$ là góc chung.
$\angle ADB = \angle AEC = 90^{{^\circ}}$ (do BD và CE là các đường cao của $\Delta ABC$).
Do đó, $\Delta ADB \backsim \Delta AEC$ (g.g).
b) Chứng minh $\angle ADE = \angle ABC$ .
Vì $\Delta ADB \backsim \Delta AEC$ (chứng minh trên), suy ra $\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AB}{AC}$ suy ra $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$.
Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ABC$ có:
$\angle A$ là góc chung.
$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ (chứng minh trên).
Do đó, $\Delta ADE \backsim \Delta ABC$ (c.g.c).
Suy ra $\angle ADE = \angle ABC$ (hai góc tương ứng).
c) Chứng minh $DE.HM = HE.DM$ .
Vì H là giao điểm của hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm của $\Delta ABC$.
Suy ra $AH\bot BC$ tại $F$ suy ra $\angle AFC = 90^{{^\circ}}$.
Vì $\Delta ADE \backsim \Delta ABC$ (chứng minh trên) suy ra $\angle ADE = \angle ABC$ (1)
Tương tự ta có $\left. \Delta CDB \right.\sim\Delta CFA\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{CD}{CB} = \dfrac{CF}{CA}$
Mà góc $\angle ACB$ chung nên $\left. \Delta CFD \right.\sim CAB\left( {c.g.c} \right)$
Khi đó $\angle CDF = \angle CBA$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\angle ADE = \angle CDF$
Mà $\angle ADB = \angle CDB = 90^{0}$ nên $\angle EDB = \angle FDB$
Do đó, DH là tia phân giác của $\angle EDF$.
Vì M nằm trên tia DF nên DH cũng là tia phân giác của $\angle EDM$.
Xét $\Delta EDM$ có DH là đường phân giác của góc D (với H thuộc cạnh EM).
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: $\dfrac{HE}{HM} = \dfrac{DE}{DM}$.
Suy ra $DE.HM = HE.DM$ (điều phải chứng minh).
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
