Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, $AB = 2a$, $SO = a\sqrt{2}$.a) Tính

Câu hỏi số 951733:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, $AB = 2a$, $SO = a\sqrt{2}$.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $(SCD)$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:951733

Phương pháp giải

a) Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp $V = \dfrac{1}{3} S_{đáy} \cdot h$, với đường cao là SO.

b) Chuyển bài toán tính khoảng cách từ điểm A sang điểm O thông qua tỉ số khoảng cách: $d(A, (SCD)) = 2d(O, (SCD))$.

Giải chi tiết

a) Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên $SO \perp (ABCD)$.

Diện tích đáy hình vuông ABCD là: $S_{ABCD} = (2a)^2 = 4a^2$.

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3} \cdot SO \cdot S_{ABCD} = \dfrac{1}{3} \cdot a\sqrt{2} \cdot 4a^2 = \dfrac{4\sqrt{2}a^3}{3}$.

b) Gọi M là trung điểm của CD, suy ra $OM \perp CD$ và $OM = \dfrac{AB}{2} = a$.

Vì $SO \perp (ABCD) \Rightarrow SO \perp CD$.

Ta có $CD \perp OM$ và $CD \perp SO \Rightarrow CD \perp (SOM)$.

Trong mặt phẳng $(SOM)$, kẻ $OH \perp SM$ tại H.

Vì $CD \perp (SOM) \Rightarrow CD \perp OH$.

Khi đó $OH \perp SM$ và $OH \perp CD \Rightarrow OH \perp (SCD)$.

Suy ra $d(O, (SCD)) = OH$.

Xét tam giác SOM vuông tại O, ta có:

$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{SO^2} + \dfrac{1}{OM^2} = \dfrac{1}{(a\sqrt{2})^2} + \dfrac{1}{a^2} = \dfrac{1}{2a^2} + \dfrac{1}{a^2} = \dfrac{3}{2a^2}$.

$\Rightarrow OH = \sqrt{\dfrac{2a^2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.

Vì $AO \cap (SCD) = C$ và $AC = 2OC$ nên

$d(A, (SCD)) = 2d(O, (SCD)) = 2 \cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{3} = \dfrac{2\sqrt{6}a}{3}$.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.