Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AH vuông góc với BD tại H.a) Chứng minh tam giác ABD và tam giác HAD
Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AH vuông góc với BD tại H.
a) Chứng minh tam giác ABD và tam giác HAD đồng dạng.
b) Kẻ đường phân giác DE của tam giác ABD (E thuộc cạnh AB). Gọi I là giao điểm của DE và AH. Chứng minh tam giác AIE cân và $AE^{2} = IH.EB$.
Quảng cáo
a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng trường hợp góc - góc (g.g): Hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn bằng nhau thì đồng dạng.
b) Để chứng minh tam giác cân, ta chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau dựa vào tính chất hai góc phụ nhau và hai góc đối đỉnh.
Để chứng minh hệ thức, sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để lập các tỉ số bằng nhau, sau đó kết hợp với các tỉ số từ cặp tam giác đồng dạng đã có ở câu a.
a) Chứng minh tam giác ABD và tam giác HAD đồng dạng.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\angle DAB = 90^{{^\circ}}$.
Vì $AH\bot BD$ tại $H$ nên $\angle AHD = 90^{{^\circ}}$.
Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HAD$ có:
$\angle DAB = \angle AHD = 90^{{^\circ}}$
$\angle ADB$ là góc chung
Do đó, $\left. \Delta ABD \right.\sim\Delta HAD$ (g.g).
b) Chứng minh tam giác AIE cân và $AE^{2} = IH.EB$.
Chứng minh tam giác AIE cân:
Xét $\Delta DAE$ vuông tại $A$ (do $\angle DAB = 90^{{^\circ}}$), ta có:
$\left. \angle AED + \angle ADE = 90^{{^\circ}}\Rightarrow\angle AED = 90^{{^\circ}} - \angle ADE \right.$ (1)
Xét $\Delta DHI$ vuông tại $H$ (do $AH\bot BD$), ta có:
$\left. \angle DIH + \angle HDI = 90^{{^\circ}}\Rightarrow\angle DIH = 90^{{^\circ}} - \angle HDI \right.$ (2)
Lại có DE là đường phân giác của $\angle ADB$ nên $\angle ADE = \angle HDI$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\angle AED = \angle DIH$.
Mặt khác, ta có $\angle AIE = \angle DIH$ (hai góc đối đỉnh).
Suy ra $\angle AED = \angle AIE$ (hay $\angle AEI = \angle AIE$).
Vậy tam giác AIE cân tại A.
Suy ra AE = AI.
Chứng minh $AE^{2} = IH.EB$:
Xét $\Delta ADH$ có DI là đường phân giác của $\angle ADH$, theo tính chất đường phân giác ta có:
$\dfrac{AI}{IH} = \dfrac{AD}{DH}$ (4)
Xét $\Delta ABD$ có DE là đường phân giác của $\angle ADB$, theo tính chất đường phân giác ta có:
$\left. \dfrac{AE}{EB} = \dfrac{AD}{DB}\Rightarrow\dfrac{EB}{AE} = \dfrac{DB}{AD} \right.$ (5)
Từ chứng minh câu a: $\left. \Delta ABD \right.\sim\Delta HAD$, ta có tỉ số đồng dạng tương ứng:
$\dfrac{AD}{HD} = \dfrac{BD}{AD}$ (hay $\dfrac{AD}{DH} = \dfrac{DB}{AD}$) (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra $\dfrac{AI}{IH} = \dfrac{EB}{AE}$.
Suy ra $AI \cdot AE = IH \cdot EB$.
Vì $AE = AI$ (chứng minh trên), nên $AE \cdot AE = IH \cdot EB$
$\left. \Rightarrow AE^{2} = IH \cdot EB \right.$ (điều phải chứng minh).
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
