Cho x, y, z là các số thực khác 0, đôi một khác nhau thỏa mãn $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} +

Câu hỏi số 951892:

Vận dụng

Cho x, y, z là các số thực khác 0, đôi một khác nhau thỏa mãn $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 0$ và $x + y + z \neq 0$. Tính giá trị biểu thức: $P = \dfrac{yz}{x^{2} + 2yz} + \dfrac{zx}{y^{2} + 2zx} + \dfrac{xy}{z^{2} + 2xy} + \dfrac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{{(x + y + z)}^{2}}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:951892

Phương pháp giải

Quy đồng giả thiết $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 0$ để chứng minh $xy + yz + zx = 0$.

Sử dụng $xy + yz + zx = 0$ để biến đổi các mẫu thức ở 3 phân thức đầu của $P$ thành nhân tử (ví dụ: thế $yz = - xy - zx$ vào $x^{2} + 2yz$).

Quy đồng và rút gọn tổng 3 phân thức đầu.

Sử dụng hằng đẳng thức khai triển ${(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(xy + yz + zx)$ để rút gọn phân thức cuối cùng.

Giải chi tiết

Từ giả thiết $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 0$ (với x, y, z khác 0)

$\left. \Rightarrow\dfrac{xy + yz + zx}{xyz} = 0\Rightarrow xy + yz + zx = 0 \right.$

Xét các mẫu thức của 3 phân thức đầu tiên trong biểu thức $P$:

Ta có $x^{2} + 2yz = x^{2} + yz + yz$.

Thay $yz = - xy - zx$ (do $xy + yz + zx = 0$), ta được:

$x^{2} + 2yz = x^{2} + yz - xy - zx = x(x - y) - z(x - y) = (x - y)(x - z)$.

Tương tự, ta phân tích được hai mẫu thức còn lại:

$y^{2} + 2zx = y^{2} + zx - xy - yz = y(y - x) - z(y - x) = (y - x)(y - z) = - (x - y)(y - z)$.

$z^{2} + 2xy = z^{2} + xy - yz - zx = z(z - y) - x(z - y) = (z - x)(z - y) = (x - z)(y - z)$.

Thay các mẫu thức đã phân tích vào 3 phân thức đầu của P, ta có tổng:$A = \dfrac{yz}{(x - y)(x - z)} + \dfrac{zx}{- (x - y)(y - z)} + \dfrac{xy}{(x - z)(y - z)}$$A = \dfrac{yz}{(x - y)(x - z)} - \dfrac{zx}{(x - y)(y - z)} + \dfrac{xy}{(x - z)(y - z)}$

$A = \dfrac{yz(y - z) - zx(x - z) + xy(x - y)}{(x - y)(y - z)(x - z)}$

Biến đổi tử thức của A:

$yz(y - z) - zx(x - z) + xy(x - y)$

$= y^{2}z - yz^{2} - zx^{2} + z^{2}x + x^{2}y - xy^{2}$

$= x^{2}(y - z) - x(y^{2} - z^{2}) + yz(y - z)$

$= (y - z)\lbrack x^{2} - x(y + z) + yz\rbrack$

$= (y - z)\lbrack x(x - y) - z(x - y)\rbrack$

$= (y - z)(x - y)(x - z)$

$= (x - y)(y - z)(x - z)$.

Do x, y, z đôi một khác nhau nên $(x - y)(y - z)(x - z) \neq 0$.

Suy ra $A = \dfrac{(x - y)(y - z)(x - z)}{(x - y)(y - z)(x - z)} = 1$

Xét phân thức cuối cùng trong $P$:

Ta có ${(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(xy + yz + zx) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2.0 = x^{2} + y^{2} + z^{2}$.

Vì $x + y + z \neq 0$ nên $x^{2} + y^{2} + z^{2} \neq 0$, do đó $\dfrac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{{(x + y + z)}^{2}} = \dfrac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1$.

Vậy $P = 1 + 1 = 2$.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link