1. Cho hình vẽ bên, biết: DE = 1,6m; CE = 2m; EA = 8,3m. Tính chiều cao AB của cây (kết quả làm tròn

Câu hỏi số 952028:

Vận dụng

1. Cho hình vẽ bên, biết: DE = 1,6m; CE = 2m; EA = 8,3m. Tính chiều cao AB của cây (kết quả làm tròn đến mét).

2. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường cao $AH(H \in BC)$. Đường phân giác của $\angle BAC$ cắt BC tại D. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D tới AB, AC.

a) Chứng minh $\Delta CHA \backsim \Delta CFD$.

b) Tia FE cắt AD tại K. Chứng minh $\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AH}$ và $\angle KFD = \angle EAD$.

c) Đường thẳng đi qua D vuông góc với BC, cắt EF tại J. Chứng minh $JF.DC = JE.BD$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:952028

Phương pháp giải

Phần 1: Sử dụng hệ quả của định lý Thales (hoặc tam giác đồng dạng) trong tam giác vuông.

Phần 2:

a) Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng theo trường hợp góc - góc (g.g).

b) Dựa vào tỉ số đồng dạng ở câu a) và tính chất khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác đến hai cạnh của góc bằng nhau. Sử dụng tính chất đường trung trực và các góc phụ nhau trong tam giác vuông để chứng minh hai góc bằng nhau.

c) Kẻ thêm đường phụ song song, áp dụng định lý Thales, kết hợp với tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và tính chất đường phân giác trong tam giác.

Giải chi tiết

1. Tính chiều cao AB của cây

Ta có: CA = CE + EA = 2 + 8,3 = 10,3 m.

Vì $DE\bot CA$ và $AB\bot CA$ nên $DE \parallel AB$.

Xét $\Delta CBA$ có $DE \parallel AB$, áp dụng hệ quả của định lý Thales, ta có: $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{CE}{CA}$

$\left. \Rightarrow AB = \dfrac{DE \cdot CA}{CE} = \dfrac{1,6 \cdot 10,3}{2} = 8,24\text{~(m)} \right.$.

Làm tròn kết quả đến mét, ta được $AB \approx 8\text{(m)}$.

Vậy chiều cao AB của cây khoảng 8 m.

a) Chứng minh $\Delta CHA \backsim \Delta CFD$

Ta có $\left. AH\bot BC\Rightarrow\angle AHC = 90^{{^\circ}} \right.$.

Lại có $\left. DF\bot AC\Rightarrow\angle DFC = 90^{{^\circ}} \right.$.

Xét $\Delta CHA$ và $\Delta CFD$ có:

$\angle AHC = \angle DFC = 90^{{^\circ}}$

$\angle C$ là góc chung

Suy ra $\Delta CHA \backsim \Delta CFD\text{~(g}\text{.g)}$.

b) Chứng minh $\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AH}$ và $\angle KFD = \angle EAD$

Từ $\Delta CHA \backsim \Delta CFD$ (chứng minh trên), ta có tỉ số đồng dạng:

$\left. \dfrac{AH}{FD} = \dfrac{CA}{CD}\Rightarrow\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{FD}{AH} \right.$.

Vì AD là tia phân giác của $\angle BAC$, đồng thời $DE\bot AB$ và $DF\bot AC$, nên theo tính chất tia phân giác ta có $DE = DF$.

Thay $DF = DE$ vào tỉ số trên, ta được: $\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AH}$ (điều phải chứng minh).

Tiếp theo, chứng minh $\angle KFD = \angle EAD$:

Xét $\Delta AED$ và $\Delta AFD$ vuông tại $E$ và $F$ có:

Cạnh huyền AD chung

$\angle EAD = \angle FAD$ (do AD là tia phân giác $\angle BAC$)

Suy ra $\Delta AED = \Delta AFD$ (cạnh huyền - góc nhọn), do đó $AE = AF$.

Kết hợp với $DE = DF$, ta có AD là đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Suy ra $AD\bot EF$ tại $K$.

Xét $\Delta KFD$ vuông tại $K$, ta có $\angle KFD + \angle KDF = 90^{{^\circ}}$.

Xét $\Delta AFD$ vuông tại $F$, ta có $\angle FAD + \angle ADF = 90^{{^\circ}}$.

Vì $\angle KDF$ chính là $\angle ADF$ nên $\angle KFD = \angle FAD$.

Mà $\angle FAD = \angle EAD$ (do AD là tia phân giác) nên $\angle KFD = \angle EAD$(điều phải chứng minh).

c) Chứng minh $JF.DC = JE.BD$

Xét $\Delta JFD$ và $\Delta DAC$, có:

$\angle JFD = \angle DAC$ (cmt);

$\angle JDF = \angle DCA$ (cùng phụ $\angle FDC$)

Suy ra $\left. \Delta JFD \right.\sim\Delta DAC$ (g - g).

Suy ra $\dfrac{JF}{DA} = \dfrac{FD}{AC}$ (1)

Xét $\Delta JED$ và $\Delta DAB$, có:

$\angle JED = \angle DAB$ (cùng phụ $\angle AEK$);

$\angle JDE = \angle DBA$ (cùng phụ $\angle BDE$)

Suy ra $\left. \Delta JED \right.\sim\Delta DAB$ (g - g).

Suy ra $\dfrac{JE}{DA} = \dfrac{ED}{AB}$ (2)

Mà $ED = FD$ (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\dfrac{JF}{JE} = \dfrac{AB}{AC}$

Mặt khác $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{DB}{DC}$ (AD là phân giác $\Delta ABC$)

Suy ra $\dfrac{JF}{JE} = \dfrac{DB}{DC}$, suy ra $JF.DC = JE.DB$ (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link