Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $A'B = a\sqrt{3}$ và A'B tạo
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $A'B = a\sqrt{3}$ và A'B tạo với đáy một góc bằng $60^{{^\circ}}$. Gọi M là trung điểm của B'C'. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (A'BC) là
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng tính chất song song để đổi điểm tính khoảng cách: $d(M,(P)) = d(N,(P))$ nếu $MN \parallel (P)$.
Kẻ đường vuông góc phụ để tìm khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Do ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên $AA'\bot(ABC)$.
Hình chiếu của A'B trên (ABC) là AB.
Góc giữa A'B và đáy $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime}BA} = 60^{{^\circ}}$.
Xét $\Delta A'AB$ vuông tại $A$:
$AA' = A'B \cdot \sin 60^{{^\circ}} = a\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3a}{2}$ (suy ra $BB' = \dfrac{3a}{2}$).
$AB = A'B \cdot \cos 60^{{^\circ}} = a\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ (suy ra $A'B' = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$).
Vì $M \in B'C'$ và $B'C' \parallel BC$, mặt khác $BC \subset (A'BC)$, nên $B'C' \parallel (A'BC)$.
Do đó: $d(M,(A'BC)) = d(B',(A'BC))$.
Ta có: $CB\bot AB$ (đáy là tam giác vuông tại $B$) và $CB\bot BB'$ (lăng trụ đứng).
Suy ra $CB\bot(ABB'A')$.
Mà $CB \subset (A'BC)$ nên $(A'BC)\bot(ABB'A')$.
Mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABB'A')$ cắt nhau theo giao tuyến $A'B$.
Trong mặt phẳng $(ABB'A')$, kẻ $B'H\bot A'B$ tại H.
Vì $(A'BC)\bot(ABB'A')$ nên $B'H\bot(A'BC)$, hay khoảng cách $d(B',(A'BC)) = B'H$.
Xét $\Delta A'B'B$ vuông tại B', đường cao $B'H$:
$\left. B'H \cdot A'B = A'B' \cdot BB'\Rightarrow B'H = \dfrac{A'B' \cdot BB'}{A'B} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{3a}{2}}{a\sqrt{3}} = \dfrac{3a}{4} \right.$.
Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng $(A'BC)$ bằng $\dfrac{3a}{4}$.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
