Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{- x^{2} + x - 2}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$. Những phương án nào dưới

Câu hỏi số 953306:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{- x^{2} + x - 2}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. $f'(x) = \dfrac{- x^{2} - 2x + 3}{{(x + 1)}^{2}},\forall x \neq - 1.$

B. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình $y = x - 2$.

C. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị $(C)$ bằng $4$.

D. Trên đồ thị $(C)$ có đúng $4$ điểm thỏa mãn tung độ và hoành độ là các số nguyên.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:953306

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương: ${(\dfrac{u}{v})}' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$.

Tìm tiệm cận xiên bằng cách chia tử cho mẫu để đưa hàm số về dạng $y = ax + b + \dfrac{c}{x + d}$. Khi đó $y = ax + b$ là đường tiệm cận xiên.

Tìm tọa độ điểm cực trị bằng cách giải phương trình $y' = 0$. Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_{A},y_{A})$ và $B(x_{B},y_{B})$ là $AB = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$.

Để tìm điểm có tọa độ nguyên $(x,y \in {\mathbb{Z}})$, ta dựa vào dạng $y = ax + b + \dfrac{c}{x + d}$, suy ra $x + d$ phải là ước của $c$.

Giải chi tiết

Tập xác định: $D = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ - 1 \right\}$.

Xét mệnh đề a:

Ta có $f'(x) = \dfrac{( - 2x + 1)(x + 1) - ( - x^{2} + x - 2).1}{{(x + 1)}^{2}}$

$f'(x) = \dfrac{- x^{2} - 2x + 3}{{(x + 1)}^{2}},\forall x \neq - 1$.

Vậy mệnh đề a đúng.

Xét mệnh đề b. Ta có $y = - x + 2 - \dfrac{4}{x + 1}$ nên có TCX $y = - x + 2$

Vậy mệnh đề b sai.

Xét mệnh đề c:

Cho $\left. y' = 0\Leftrightarrow - x^{2} - 2x + 3 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 1} \\ {x = - 3} \end{array} \right. \right.$

Với $\left. x = 1\Rightarrow y = - 1 \right.$. Ta có điểm cực trị $A(1, - 1)$.

Với $\left. x = - 3\Rightarrow y = 7 \right.$. Ta có điểm cực trị $B( - 3,7)$.

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là:

$AB = \sqrt{{( - 3 - 1)}^{2} + {(7 - ( - 1))}^{2}} = \sqrt{{( - 4)}^{2} + 8^{2}} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.

Vậy mệnh đề c sai.

Xét mệnh đề d:

Ta có $y = - x + 2 - \dfrac{4}{x + 1}$.

Để điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên thì $x \in {\mathbb{Z}}$ và $y \in {\mathbb{Z}}$.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{4}{x + 1} \in {\mathbb{Z}}$, tức là $x + 1$ là ước nguyên của $4$.

ƯCLN của $4$ là: $\left\{ \pm 1; \pm 2; \pm 4 \right\}$.

Ta có bảng giá trị:

$x + 1$	1	-1	2	-2	4	-4
$x$	0	-2	1	-3	3	-5
$y$	-2	8	-1	7	-2	8

Có tất cả $6$ điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị $(C)$.

Vậy mệnh đề d sai.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.