Trong không gian Oxyz , cho các điểm $A( - 1;1;0)$, $B(2;1;1)$, $C(1;3; - 2)$, $D(2;0;0)$. Những phương án

Câu hỏi số 953307:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz , cho các điểm $A( - 1;1;0)$, $B(2;1;1)$, $C(1;3; - 2)$, $D(2;0;0)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Phương trình tham số đường thẳng AB là $\left\{ \begin{matrix} {x = 3t} \\ {y = 0} \\ {z = t} \end{matrix} \right.$ .

B. Góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD có cosin bằng $\dfrac{\sqrt{35}}{15}$ .

C. AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau.

D. Gọi (S) là mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng AB và CD, bán kính nhỏ nhất của $(S)$ là $\dfrac{6}{\sqrt{115}}$ .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:953307

Phương pháp giải

Sử dụng các kiến thức về hình học không gian tọa độ Oxyz:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A, B là $\overset{\rightarrow}{AB}$.

Góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng có các vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}$ được tính bởi: $\cos\alpha = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{u_{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{u_{2}} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{u_{1}} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{u_{2}} \right|}$.

Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}$ và đi qua hai điểm tương ứng $M_{1},M_{2}$ chéo nhau khi và chỉ khi tích hỗn tạp $\lbrack\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{M_{1}M_{2}} \neq 0$.

Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng chéo nhau bằng một nửa khoảng cách giữa hai đường thẳng đó: $R = \dfrac{1}{2}d(d_{1},d_{2}) = \dfrac{1}{2}\dfrac{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{M_{1}M_{2}} \right|}{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}\rbrack \right|}$.

Giải chi tiết

Ta tính được các vectơ:

$\overset{\rightarrow}{AB} = (3;0;1)$

$\overset{\rightarrow}{CD} = (1; - 3;2)$

$\overset{\rightarrow}{AC} = (2;2; - 2)$

a) Sai. Đường thẳng AB đi qua điểm $A( - 1;1;0)$ và nhận $\overset{\rightarrow}{AB} = (3;0;1)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{matrix} {x = - 1 + 3t} \\ {y = 1} \\ {z = t} \end{matrix} \right.$

b) Sai. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

$\cos\alpha = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{CD} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{AB} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{CD} \right|} = \dfrac{\left| 3 \cdot 1 + 0 \cdot ( - 3) + 1 \cdot 2 \right|}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + {( - 3)}^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{14}} = \dfrac{5}{2\sqrt{35}} = \dfrac{\sqrt{35}}{14}$

c) Đúng. Ta tính tích có hướng của hai vectơ chỉ phương:

$\lbrack\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{CD}\rbrack = \left( {\left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ {- 3} & 2 \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} 3 & 0 \\ 1 & {- 3} \end{matrix} \right|} \right) = (3; - 5; - 9)$

Vì $\lbrack\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{CD}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{AC} = 3 \cdot 2 + ( - 5) \cdot 2 + ( - 9) \cdot ( - 2) = 6 - 10 + 18 = 14 \neq 0$ nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng, tức là hai đường thẳng AB và CD chéo nhau.

d) Sai. Mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đường thẳng AB và CD sẽ có bán kính nhỏ nhất bằng một nửa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đó.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là:

$d(AB,CD) = \dfrac{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{CD}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{AC} \right|}{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{CD}\rbrack \right|} = \dfrac{14}{\sqrt{3^{2} + {( - 5)}^{2} + {( - 9)}^{2}}} = \dfrac{14}{\sqrt{9 + 25 + 81}} = \dfrac{14}{\sqrt{115}}$

Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $(S)$ là: $R_{min} = \dfrac{1}{2}d(AB,CD) = \dfrac{7}{\sqrt{115}}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.