Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho bất phương trình $\log(2x^{2} + 26) > \log(x^{2} + mx + 8)$ (*).

Câu hỏi số 953309:
Vận dụng

Cho bất phương trình $\log(2x^{2} + 26) > \log(x^{2} + mx + 8)$ (*).

Đáp án đúng là: B; E

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:953309
Phương pháp giải

Điều kiện xác định của hàm số $\log_{a}f(x)$ là $f(x) > 0$.

Giải bất phương trình logarit cơ số $a > 1$: $\left. \log_{a}f(x) > \log_{a}g(x)\Leftrightarrow f(x) > g(x) > 0 \right.$.

Xét dấu tam thức bậc hai $f(x) = ax^{2} + bx + c$: $\left. f(x) > 0,\forall x \in {\mathbb{R}}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array} \right. \right.$.

Giải chi tiết

Bất phương trình (*) $\log(2x^{2} + 26) > \log(x^{2} + mx + 8)$.

Do cơ số $10 > 1$, () tương đương với hệ bất phương trình:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + mx + 8 > 0\quad(1)} \\ {2x^{2} + 26 > x^{2} + mx + 8} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + mx + 8 > 0\quad(1)} \\ {x^{2} - mx + 18 > 0\quad(2)} \end{array} \right. \right.$

Xét từng ý:

1 sai. Thay $m = 6$, điều kiện xác định của (*) là:

$\left. x^{2} + 6x + 8 > 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x < - 4} \\ {x > - 2} \end{array} \right. \right.$

Tập xác định của phương trình là $D = ( - \infty; - 4) \cup ( - 2; + \infty)$.

2 đúng. (*) xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi biểu thức trong dấu logarit luôn dương, tức là $x^{2} + mx + 8 > 0,\forall x \in {\mathbb{R}}$.

Điều này tương đương với: $\left. \Delta = m^{2} - 32 < 0\Leftrightarrow - 4\sqrt{2} < m < 4\sqrt{2} \right.$.

3 sai: Thay $m = 9$, hệ bất phương trình trở thành:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + 9x + 8 > 0} \\ {x^{2} - 9x + 18 > 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \left\lbrack \begin{array}{l} {x < - 8} \\ {x > - 1} \end{array} \right. \\ \left\lbrack \begin{array}{l} {x < 3} \\ {x > 6} \end{array} \right. \end{array} \right. \right.$

Biểu diễn trên trục số và lấy giao các tập nghiệm, ta được tập nghiệm của bất phương trình là:

$S = ( - \infty; - 8) \cup ( - 1;3) \cup (6; + \infty)$.

4 sai. Xét các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 10 là $x \in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}$.

Với $m \in (9;10)$ và $x > 0$, ta luôn có $x^{2} + mx + 8 > 0$, nên bất phương trình (1) luôn đúng.

Từ bất phương trình (2), ta có $\left. x^{2} - mx + 18 > 0\Leftrightarrow m < \dfrac{x^{2} + 18}{x} = x + \dfrac{18}{x} \right.$.

Xét giá trị của hàm số $f(x) = x + \dfrac{18}{x}$ với $x \in \left\{ 1;\ldots;9 \right\}$

$f(1) = 19;f(2) = 11;f(3) = 9;f(4) = 8,5;f(5) = 8,6;f(6) = 9;f(7) \approx 9,57;f(8) = 10,25;f(9) = 11$.

Khi $m \in (9;10)$ (ví dụ $m = 9,1$), điều kiện $m < f(x)$ thoả mãn với các giá trị $x \in \left\{ 1;2;7;8;9 \right\}$.

Lúc này hệ có từ 4 đến 5 nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10, chứ không phải luôn có đúng 3 nghiệm.

5 đúng. Bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi $x \in {\mathbb{R}}$ khi và chỉ khi hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in {\mathbb{R}}$:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + mx + 8 > 0,\forall x \in {\mathbb{R}}} \\ {x^{2} - mx + 18 > 0,\forall x \in {\mathbb{R}}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\Delta_{1} = m^{2} - 32 < 0} \\ {\Delta_{2} = m^{2} - 72 < 0} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m^{2} - 32 < 0} \\ {m^{2} - 72 < 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow m^{2} - 32 < 0\Leftrightarrow - 4\sqrt{2} < m < 4\sqrt{2} \right.$.

Do $m \in {\mathbb{Z}}$ nên $m \in \left\{ - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4;5 \right\}$.

Có tất cả 11 giá trị nguyên của m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: B; E

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn