Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a\sqrt{2}$ . Gọi M là trung điểm SB. Những phương án nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: A; C; E
Quảng cáo
Xác định đường cao của hình chóp tứ giác đều để tính các cạnh trong không gian.
Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng) để kiểm tra phương án 1.
Dùng công thức $V = \dfrac{1}{3}Bh$ để kiểm tra phương án 2.
Áp dụng các phương pháp tính khoảng cách: khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (dựng mặt phẳng song song chứa đường này và song song với đường kia, hoặc tìm đoạn vuông góc chung) để kiểm tra các phương án 3, 4, 5.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên $SO\bot(ABCD)$.
Đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên đường chéo $AC = BD = a\sqrt{2}$, suy ra $OA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét tam giác vuông SOA tại O: $SO = \sqrt{SA^{2} - OA^{2}} = \sqrt{{(a\sqrt{2})}^{2} - \left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
1 Đúng. Vì $SO\bot(ABCD)$ nên OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng (ABCD).
Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là góc $\angle SAO$.
Trong tam giác vuông SOA: $\left. \cos\angle SAO = \dfrac{OA}{SA} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\Rightarrow\angle SAO = 60^{{^\circ}} \right.$.
2 Sai. Thể tích khối chóp S.ABCD: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO = \dfrac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{2} = \dfrac{a^{3}\sqrt{6}}{6}$.
3 Đúng. Ta có $BD\bot AC$ và $BD\bot SO$ nên $BD\bot(SAC)$.
Mà $SA \subset (SAC)$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, kẻ $OH\bot SA$ tại $H$.
Vì $BD\bot(SAC)$ nên $BD\bot OH$. Khi đó OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
Suy ra $d(SA,BD) = OH$.
Xét tam giác vuông SOA, đường cao OH:
$\left. \dfrac{1}{OH^{2}} = \dfrac{1}{OA^{2}} + \dfrac{1}{SO^{2}} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}} + \dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)^{2}} = \dfrac{2}{a^{2}} + \dfrac{2}{3a^{2}} = \dfrac{8}{3a^{2}}\Rightarrow OH = \dfrac{a\sqrt{6}}{4} \right.$.
4 Sai. Vì $CD \parallel AB$ nên $CD \parallel (SAB)$. Do đó $d(SA,CD) = d(CD,(SAB)) = d(C,(SAB))$.
Lại có O là trung điểm AC nên $d(C,(SAB)) = 2d(O,(SAB))$.
Gọi E là trung điểm của AB. Suy ra $OE\bot AB$ và $OE = \dfrac{a}{2}$.
Ta có $AB\bot OE$ và $AB\bot SO$ nên $AB\bot(SOE)$.
Trong mặt phẳng (SOE), kẻ $OK\bot SE$ tại $K$.
Vì $AB\bot(SOE)$ nên $AB\bot OK$. Do đó $\left. OK\bot(SAB)\Rightarrow d(O,(SAB)) = OK \right.$.
Xét tam giác vuông SOE, đường cao OK:
$\left. \dfrac{1}{OK^{2}} = \dfrac{1}{OE^{2}} + \dfrac{1}{SO^{2}} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{a}{2} \right)^{2}} + \dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)^{2}} = \dfrac{4}{a^{2}} + \dfrac{4}{6a^{2}} = \dfrac{14}{3a^{2}}\Rightarrow OK = \dfrac{a\sqrt{42}}{14} \right.$.
Vậy $d(SA,CD) = 2OK = 2 \cdot \dfrac{a\sqrt{42}}{14} = \dfrac{a\sqrt{42}}{7}$.
5 Đúng.
Gọi N là trung điểm của SD. Vì M là trung điểm của SB nên MN là đường trung bình của tam giác $\left. SBD\Rightarrow MN \parallel BD \right.$.
Suy ra $BD \parallel (AMN)$. Do đó $d(AM,BD) = d(BD,(AMN)) = d(O,(AMN))$.
Gọi I là giao điểm của MN và $\left. SO\Rightarrow I \right.$ là trung điểm của $\left. SO\Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}SO = \dfrac{a\sqrt{6}}{4} \right.$.
Ta có $MN \parallel BD$ mà $BD\bot(SAC)$ nên $\left. MN\bot(SAC)\Rightarrow(AMN)\bot(SAC) \right.$.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (SAC) là đường thẳng AI.
Trong mặt phẳng $(SAC)$, kẻ $OP\bot AI$ tại $\left. P\Rightarrow OP\bot(AMN) \right.$. Vậy $d(O,(AMN)) = OP$.
Xét tam giác OAI vuông tại O, đường cao OP:
$\left. \dfrac{1}{OP^{2}} = \dfrac{1}{OA^{2}} + \dfrac{1}{OI^{2}} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}} + \dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{4} \right)^{2}} = \dfrac{2}{a^{2}} + \dfrac{16}{6a^{2}} = \dfrac{14}{3a^{2}}\Rightarrow OP = \dfrac{a\sqrt{42}}{14} \right.$.
Đáp án cần chọn là: A; C; E
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
