Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \dfrac{mx + 10}{2x + m}$ nghịch biến trên

Câu hỏi số 953321:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \dfrac{mx + 10}{2x + m}$ nghịch biến trên khoảng $(0;2)$?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:953321

Phương pháp giải

Tìm tập xác định của hàm số.

Tính đạo hàm y'.

Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ nghịch biến trên khoảng $(K)$ khi và chỉ khi $y' < 0,\forall x \in D$ và nghiệm của mẫu số không thuộc khoảng $(K)$.

Giải chi tiết

Tập xác định: $D = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ {- \dfrac{m}{2}} \right\}$.

Đạo hàm: $y' = \dfrac{m \cdot m - 2 \cdot 10}{{(2x + m)}^{2}} = \dfrac{m^{2} - 20}{{(2x + m)}^{2}}$.

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ thì cần thỏa mãn hai điều kiện đồng thời:

$\left. y' < 0,\forall x \in D\Leftrightarrow m^{2} - 20 < 0\Leftrightarrow - \sqrt{20} < m < \sqrt{20}\Leftrightarrow - 2\sqrt{5} < m < 2\sqrt{5} \right.$.

Vì $m \in {\mathbb{Z}}$ nên $m \in \left\{ - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4 \right\}$.

Điểm không xác định không thuộc khoảng $(0;2)$:

$\left. - \dfrac{m}{2} \notin (0;2)\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {- \dfrac{m}{2} \leq 0} \\ {- \dfrac{m}{2} \geq 2} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m \geq 0} \\ {m \leq - 4} \end{array} \right. \right.$.

Kết hợp cả hai điều kiện, lấy m nguyên suy ra $m \in \left\{ - 4;0;1;2;3;4 \right\}$.

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.