Ông Quyết làm một cái máng thoát nước mưa, mặt cắt ngang của máng là hình thang cân có độ

Câu hỏi số 953323:

Vận dụng

Ông Quyết làm một cái máng thoát nước mưa, mặt cắt ngang của máng là hình thang cân có độ dài hai cạnh bên và cạnh đáy đều bằng 20 cm, thành máng nghiêng với mặt nằm ngang một góc $\varphi$ với $0^{{^\circ}} < \varphi < 90^{{^\circ}}$. Để lượng nước mưa thoát được là nhiều nhất, ông Quyết phải thiết kế máng có giá trị $\cos\varphi$ bằng bao nhiêu? (nhập kết quả dưới số thập phân)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 0,5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:953323

Phương pháp giải

Lập hàm số biểu diễn diện tích mặt cắt ngang của máng theo biến $t = \cos\varphi$.

Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(0;1)$.

Giải chi tiết

Gọi h là chiều cao của mặt cắt ngang (hình thang cân) và x là độ dài hình chiếu vuông góc của cạnh bên lên đường thẳng chứa đáy lớn (miệng máng).

Xét tam giác vuông tạo bởi chiều cao, cạnh bên và mặt nằm ngang, ta có: $h = 20\sin\varphi$$x = 20\cos\varphi$

Độ dài đáy lớn của hình thang (phía trên miệng máng) là: $20 + 2x = 20 + 40\cos\varphi$.

Diện tích mặt cắt ngang của máng nước là:$S = \dfrac{1}{2} \cdot \lbrack 20 + (20 + 40\cos\varphi)\rbrack \cdot 20\sin\varphi = 400(1 + \cos\varphi)\sin\varphi$

Để lượng nước mưa thoát được nhiều nhất thì diện tích S phải đạt giá trị lớn nhất.

Đặt $t = \cos\varphi$. Do $0^{{^\circ}} < \varphi < 90^{{^\circ}}$ nên $0 < t < 1$.

Khi đó $\sin\varphi = \sqrt{1 - \cos^{2}\varphi} = \sqrt{1 - t^{2}}$.

Hàm số tính diện tích trở thành: $S(t) = 400(1 + t)\sqrt{1 - t^{2}}$ với $t \in (0;1)$.

Vì $S(t) > 0$ trên $(0;1)$ nên $S(t)$ lớn nhất khi hàm số $f(t) = {(1 + t)}^{2}(1 - t^{2}) = {(1 + t)}^{3}(1 - t)$ đạt giá trị lớn nhất.

$f'(t) = 3{(1 + t)}^{2}(1 - t) + {(1 + t)}^{3}( - 1)$

$f'(t) = {(1 + t)}^{2}\lbrack 3(1 - t) - (1 + t)\rbrack$

$f'(t) = {(1 + t)}^{2}(2 - 4t)$

Cho $\left. f'(t) = 0\Leftrightarrow 2 - 4t = 0\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2} \right.$ (thỏa mãn $t \in (0;1)$).

Qua $t = \dfrac{1}{2}$, đạo hàm $f'(t)$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số $f(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t = \dfrac{1}{2}$.

Vậy diện tích mặt cắt ngang của máng lớn nhất khi $\cos\varphi = \dfrac{1}{2}$.

Đáp án cần điền là: 0,5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.