Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $d:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 1}{- 1} =

Câu hỏi số 953325:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $d:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 1}{- 1} = \dfrac{z - 4}{2}$ và mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$. Gọi $(P):ax + by + cz + 9 = 0$ là mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với $(S)$. Tính giá trị biểu thức $a + b + c$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: -3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:953325

Phương pháp giải

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên (P) đi qua một điểm bất kỳ thuộc d và vectơ pháp tuyến của (P) vuông góc với vectơ chỉ phương của d.

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I, bán kính R khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R: $d(I,(P)) = R$.

Thiết lập hệ phương trình để tìm các hệ số a, b, c.

Giải chi tiết

Đường thẳng d đi qua điểm $M(1;1;4)$ và có vectơ chỉ phương ${\overset{\rightarrow}{u}}_{d} = (2; - 1;2)$.

Mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R = \sqrt{9} = 3$.

Mặt phẳng $(P):ax + by + cz + 9 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n} = (a;b;c)$.

Vì (P) chứa d nên (P) đi qua $M$ và $\overset{\rightarrow}{n}\bot{\overset{\rightarrow}{u}}_{d}$, ta có hệ điều kiện:

$\left. M \in (P)\Rightarrow a.1 + b.1 + c.4 + 9 = 0\Leftrightarrow a + b + 4c + 9 = 0\quad(1) \right.$

$\left. \overset{\rightarrow}{n} \cdot {\overset{\rightarrow}{u}}_{d} = 0\Rightarrow 2a - b + 2c = 0\Leftrightarrow b = 2a + 2c\quad(2) \right.$

Thế (2) vào (1) ta được:

$a + (2a + 2c) + 4c + 9 = 0$

$\left. \Leftrightarrow 3a + 6c + 9 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow a + 2c + 3 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow a = - 2c - 3 \right.$

Thay $a = - 2c - 3$ vào lại $(2)$ ta được:

$b = 2( - 2c - 3) + 2c = - 4c - 6 + 2c = - 2c - 6$

Vì mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ nên $d(O,(P)) = R$:

$\dfrac{\left| {a.0 + b.0 + c.0 + 9} \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 3$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{9}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 3 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = 3 \right.$

$\left. \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9\quad(3) \right.$

Thay $a = - 2c - 3$ và $b = - 2c - 6$ vào phương trình $(3)$, ta được:

${( - 2c - 3)}^{2} + {( - 2c - 6)}^{2} + c^{2} = 9$

$\left. \Leftrightarrow(4c^{2} + 12c + 9) + (4c^{2} + 24c + 36) + c^{2} = 9 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 9c^{2} + 36c + 45 = 9 \right.$

$\left. \Leftrightarrow c = - 2 \right.$

Với $c = - 2$, ta tính được:

$a = - 2( - 2) - 3 = 4 - 3 = 1$

$b = - 2( - 2) - 6 = 4 - 6 = - 2$

Khi đó, phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $x - 2y - 2z + 9 = 0$.

Giá trị của biểu thức $a + b + c$ là: $a + b + c = 1 + ( - 2) + ( - 2) = - 3$

Đáp án cần điền là: -3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.