Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 4$ các điểm $A(1;2;4)$ ;

Câu hỏi số 953326:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 4$ các điểm $A(1;2;4)$ ; $B(0;0;1)$. Mặt phẳng $(P):ax + by + cz + 3 = 0$ đi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $T = a + b + c$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: -0,75

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:953326

Phương pháp giải

Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

Sử dụng điều kiện mặt phẳng (P) đi qua A và B để thiết lập mối liên hệ giữa các hệ số a, b, c.

Bán kính đường tròn giao tuyến $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}(I,(P))}$. Đường tròn có chu vi nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ bán kính $r$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ khoảng cách $d(I,(P))$ lớn nhất.

Lập hàm số tính khoảng cách $d(I,(P))$ theo một biến, sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của hàm số, từ đó suy ra các hệ số a, b, c.

Giải chi tiết

Mặt cầu $(S)$ có phương trình ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 4$ nên có tâm $I( - 1;1;0)$ và bán kính $R = 2$.

Vì mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $B(0;0;1)$ nên thay tọa độ $B$ vào phương trình $(P)$ ta được:

$\left. a.0 + b.0 + c.1 + 3 = 0\Rightarrow c = - 3 \right.$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1;2;4)$ nên thay tọa độ $A$ và $c = - 3$ vào phương trình $(P)$ ta được:

$\left. a.1 + b.2 + ( - 3).4 + 3 = 0\Rightarrow a + 2b - 9 = 0\Rightarrow a = 9 - 2b \right.$

Khi đó, phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng: $(9 - 2b)x + by - 3z + 3 = 0$.

Khoảng cách từ tâm $I( - 1;1;0)$ đến mặt phẳng $(P)$ là:

$d = d(I,(P)) = \dfrac{\left| {(9 - 2b)( - 1) + b.1 - 3.0 + 3} \right|}{\sqrt{{(9 - 2b)}^{2} + b^{2} + {( - 3)}^{2}}} = \dfrac{\left| {3b - 6} \right|}{\sqrt{5b^{2} - 36b + 90}}$

Đường tròn giao tuyến có chu vi nhỏ nhất khi khoảng cách $d$ lớn nhất.

Điều này tương đương với $d^{2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Xét hàm số $f(b) = d^{2} = \dfrac{9{(b - 2)}^{2}}{5b^{2} - 36b + 90}$

$f'(b) = \dfrac{18(b - 2)(5b^{2} - 36b + 90) - 9{(b - 2)}^{2}(10b - 36)}{{(5b^{2} - 36b + 90)}^{2}}$

$f'(b) = \dfrac{9(b - 2)\lbrack 2(5b^{2} - 36b + 90) - (b - 2)(10b - 36)\rbrack}{{(5b^{2} - 36b + 90)}^{2}}$

$f'(b) = \dfrac{9(b - 2)( - 16b + 108)}{{(5b^{2} - 36b + 90)}^{2}}$

Cho $\left. f'(b) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {b = 2} \\ {- 16b + 108 = 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {b = 2} \\ {b = \dfrac{27}{4}} \end{array} \right. \right.$

Với $\left. b = 2\Rightarrow f(2) = 0 \right.$ (khoảng cách nhỏ nhất).

Với $\left. b = \dfrac{27}{4}\Rightarrow f\left( \dfrac{27}{4} \right) = \dfrac{16}{5} \right.$ (khoảng cách lớn nhất).

Để $d$ lớn nhất thì $b = \dfrac{27}{4}$.

Suy ra $a = 9 - 2\left( \dfrac{27}{4} \right) = - \dfrac{9}{2}$.

Giá trị biểu thức cần tìm là:

$T = a + b + c = - \dfrac{9}{2} + \dfrac{27}{4} - 3 = - \dfrac{18}{4} + \dfrac{27}{4} - \dfrac{12}{4} = - \dfrac{3}{4}$

Đáp án cần điền là: -0,75

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.