Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau là $\Delta_1$ và $\Delta_2$

Câu hỏi số 953391:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau là $\Delta_1$ và $\Delta_2$ lần lượt có phương trình: $\Delta_1: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z-2}{2}; \Delta_2: \dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{3}$. Gọi $\Delta$ là đường vuông góc chung của $\Delta_1$ và $\Delta_2$. Biết $\Delta$ đi qua điểm $M(a;b;4)$. Tính $a+b$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:953391

Phương pháp giải

Gọi $A$ và $B$ lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung $\Delta$ với hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$. Tham số hóa tọa độ của $A$ và $B$ theo hai biến $t$ và $s$.

Sử dụng điều kiện vuông góc: $\vec{AB} \cdot \vec{u_1} = 0$ và $\vec{AB} \cdot \vec{u_2} = 0$ (trong đó $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $\Delta_1, \Delta_2$) để lập hệ phương trình.

Giải hệ phương trình tìm $t, s$, từ đó suy ra tọa độ $A$ và vectơ chỉ phương $\vec{AB}$ của $\Delta$.

Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ và thay tọa độ điểm $M(a;b;4)$ vào để tìm $a$ và $b$, cuối cùng tính tổng $a+b$.

Giải chi tiết

Đường thẳng $\Delta_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (1; -1; 2)$.

Đường thẳng $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2} = (3; -1; 3)$.

Gọi $A = \Delta \cap \Delta_1 \Rightarrow A(1+t; 3-t; 2+2t)$.

Gọi $B = \Delta \cap \Delta_2 \Rightarrow B(3s; -s; -1+3s)$.

Suy ra $\vec{AB} = (3s - t - 1; -s + t - 3; 3s - 2t - 3)$.

Vì $\Delta$ là đường vuông góc chung của $\Delta_1$ và $\Delta_2$ nên $\Delta \perp \Delta_1$ và $\Delta \perp \Delta_2$, ta có hệ điều kiện:

$\begin{cases} \vec{AB} \cdot \vec{u_1} = 0 \\ \vec{AB} \cdot \vec{u_2} = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 1(3s - t - 1) - 1(-s + t - 3) + 2(3s - 2t - 3) = 0 \\ 3(3s - t - 1) - 1(-s + t - 3) + 3(3s - 2t - 3) = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 3s - t - 1 + s - t + 3 + 6s - 4t - 6 = 0 \\ 9s - 3t - 3 + s - t + 3 + 9s - 6t - 9 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 10s - 6t = 4 \\ 19s - 10t = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} s = 1 \\ t = 1 \end{cases}$

Với $t = 1$, ta có $A(2; 2; 4)$.

Với $s = 1$, ta có $B(3; -1; 2)$.

Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{AB} = (1; -3; -2)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2; 2; 4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{AB} = (1; -3; -2)$ nên có phương trình tham số là:

$\begin{cases} x = 2 + k \\ y = 2 - 3k \\ z = 4 - 2k \end{cases}$

Vì điểm $M(a; b; 4) \in \Delta$ nên tồn tại số thực $k$ sao cho:

$\begin{cases} a = 2 + k \\ b = 2 - 3k \\ 4 = 4 - 2k \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 2 + 0 \\ b = 2 - 3(0) \\ k = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 2 \\ b = 2 \end{cases}$

Vậy $a = 2$ và $b = 2$.

Suy ra $a + b = 2 + 2 = 4$.

Đáp án: 4

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.