Một kiến trúc sư thiết kế một hồ bơi vô cực có mặt trên của bể bơi nằm trong mặt phẳng

Câu hỏi số 953743:

Vận dụng

Một kiến trúc sư thiết kế một hồ bơi vô cực có mặt trên của bể bơi nằm trong mặt phẳng Oxy (đơn vị trục là mét). Một cạnh của hồ bơi dài 12 m nằm trên trục Ox; hai cạnh bên lần lượt nằm trên trục Oy và đường thẳng $x = 12$; cạnh còn lại (mặt vô cực) là một phần đồ thị của hàm số $y = - \dfrac{1}{18}x^{2} + \dfrac{2}{3}x + 4$. Đáy hồ bơi không phẳng mà độ sâu tại điểm $(a;b)$ được tính theo công thức $h(a) = \dfrac{1}{4}a + 1$ (mét). Thể tích nước tối đa mà hồ bơi có thể chứa là bao nhiêu $m^{3}$?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:953743

Phương pháp giải

Sử dụng ứng dụng của tích phân trong hình học để tính thể tích vật thể.

Thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = a$, $x = b$ ($a < b$) và có diện tích thiết diện vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là $S(x)$ được tính bởi công thức $V = {\int_{a}^{b}S}(x)dx$.

Giải chi tiết

Hồ bơi là vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại $x = 0$ và $x = 12$.

Cắt vật thể bằng một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ($0 \leq x \leq 12$), ta thu được một thiết diện. Thiết diện này là một hình chữ nhật có:

Chiều rộng nằm trên mặt phẳng Oxy, bằng khoảng cách từ trục Ox đến đồ thị hàm số mặt vô cực, là: $y(x) = - \dfrac{1}{18}x^{2} + \dfrac{2}{3}x + 4$ (m).

Chiều sâu của thiết diện chính là độ sâu của hồ bơi.

Theo giả thiết, độ sâu tại điểm $(a;b)$ là $h(a) = \dfrac{1}{4}a + 1$ (chỉ phụ thuộc vào hoành độ), do đó độ sâu tại mặt cắt hoành độ $x$ là: $h(x) = \dfrac{1}{4}x + 1$ (m).

Diện tích của thiết diện hình chữ nhật tại hoành độ x là:

$S(x) = y(x) \cdot h(x) = \left( {- \dfrac{1}{18}x^{2} + \dfrac{2}{3}x + 4} \right)\left( {\dfrac{1}{4}x + 1} \right)$

$S(x) = - \dfrac{1}{72}x^{3} + \dfrac{1}{9}x^{2} + \dfrac{5}{3}x + 4$

Thể tích nước tối đa mà hồ bơi có thể chứa chính là thể tích của vật thể trên:

$V = {\int_{0}^{12}S}(x)dx = {\int_{0}^{12}\left( {- \dfrac{1}{72}x^{3} + \dfrac{1}{9}x^{2} + \dfrac{5}{3}x + 4} \right)}dx$

$V = 160$ ($m^{3}$)

Đáp án cần điền là: 160

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.