Một nhân viên cứu hộ đứng ở mặt đất, điều khiển một drone chở vật tư y tế, dự kiến

Câu hỏi số 953744:

Vận dụng

Một nhân viên cứu hộ đứng ở mặt đất, điều khiển một drone chở vật tư y tế, dự kiến bay thẳng từ đỉnh A của tháp thứ nhất đến đỉnh B của tháp thứ hai. Tuy nhiên, do gặp một một khu vực nhiễu sóng an ninh, nên drone phải bay thẳng từ A đến một điểm P trên mặt đất để hạ cánh. Nhân viên đó mang drone từ điểm P dọc theo hướng Tây $40\text{~m}$ đến điểm Q và sau đó drone bay thẳng từ Q lên đỉnh B của tháp thứ hai (Hình vẽ). Biết đỉnh A cao $100\text{~m}$ và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng ban đầu $200\text{~m}$ về phía Đông và $100\text{~m}$ về phía Nam. Đỉnh B cao $300\text{~m}$ và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng ban đầu $140\text{~m}$ về phía Tây và $200\text{~m}$ về phía Nam.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tại vị trí người đứng ban đầu, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục Ox hướng Đông, trục Oy hướng Nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trên (đơn vị trên các trục là $100\text{~m}$). Để hoàn thành nhiệm vụ, người đó chọn vị trí điểm $P(a;b;c)$ trên mặt đất sao cho tổng quãng đường bay là ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức $S = 2a + 4b + c$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:953744

Phương pháp giải

Đọc dữ kiện để xác định tọa độ các điểm A, B trong hệ trục tọa độ Oxyz đã cho.

Biểu diễn tọa độ điểm P (trên mặt phẳng Oxy) và điểm Q theo các ẩn a, b, c.

Viết công thức tính tổng quãng đường bay $L = AP + QB$.

Sử dụng bất đẳng thức vectơ $\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| + \middle| \overset{\rightarrow}{v} \middle| \geq \middle| \overset{\rightarrow}{u} + \overset{\rightarrow}{v} \right|$ để tìm điều kiện cho tổng quãng đường nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Đơn vị trên các trục tọa độ là 100 m, tương ứng với 1 đơn vị.

Gốc tọa độ $O(0;0;0)$ tại vị trí người đứng ban đầu. Mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất.

Chiều dương trục Ox hướng Đông (hướng Tây là chiều âm trục Ox).

Chiều dương trục Oy hướng Nam.

Chiều dương trục Oz hướng thẳng đứng lên trên.

Xác định tọa độ điểm A:

Hình chiếu của A cách O về phía Đông 200m (2 đơn vị) nên hoành độ $x_{A} = 2$.

Hình chiếu của A cách O về phía Nam 100m (1 đơn vị) nên tung độ $y_{A} = 1$.

Độ cao 100 m (1 đơn vị) nên cao độ $z_{A} = 1$.

Vậy $A(2;1;1)$.

Xác định tọa độ điểm B:

Hình chiếu của B cách O về phía Tây 140m (ngược chiều Ox, là -1,4 đơn vị) nên hoành độ $x_{B} = - 1,4$.

Hình chiếu của B cách O về phía Nam 200 m (2 đơn vị) nên tung độ $y_{B} = 2$.

Độ cao 300 m (3 đơn vị) nên cao độ $z_{B} = 3$.

Vậy $B( - 1,4;2;3)$.

Điểm $P(a;b;c)$ nằm trên mặt đất, tức là thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, suy ra $c = 0$. Khi đó $P(a;b;0)$.

Nhân viên mang drone từ P dọc theo hướng Tây 40 m (dịch chuyển ngược chiều trục Ox một lượng 0,4 đơn vị) để đến điểm Q. Suy ra tọa độ điểm Q là $Q(a - 0,4;b;0)$.

Tổng quãng đường bay của drone là $L = AP + QB$.

Ta có:

$\left. \overset{\rightarrow}{PA} = (2 - a;1 - b;1)\Rightarrow AP = \sqrt{{(2 - a)}^{2} + {(1 - b)}^{2} + 1^{2}} \right.$

$\begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{QB} = ( - 1,4 - (a - 0,4);2 - b;3 - 0) = ( - 1 - a;2 - b;3)} \\ \left. \Rightarrow QB = \sqrt{{( - 1 - a)}^{2} + {(2 - b)}^{2} + 3^{2}} \right. \end{array}$

Xét hai vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = (2 - a;1 - b;1)$ và $\overset{\rightarrow}{v} = (a + 1;b - 2;3)$.

Ta thấy $\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| = AP \right.$ và $\left| \overset{\rightarrow}{v} \middle| = QB \right.$.

Áp dụng bất đẳng thức môđun vectơ $\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| + \middle| \overset{\rightarrow}{v} \middle| \geq \middle| \overset{\rightarrow}{u} + \overset{\rightarrow}{v} \right|$, ta có:

$\overset{\rightarrow}{u} + \overset{\rightarrow}{v} = (2 - a + a + 1;1 - b + b - 2;1 + 3) = (3; - 1;4)$.

$\left. \Rightarrow L = AP + QB = \middle| \overset{\rightarrow}{u} \middle| + \middle| \overset{\rightarrow}{v} \middle| \geq \middle| \overset{\rightarrow}{u} + \overset{\rightarrow}{v} \middle| = \sqrt{3^{2} + {( - 1)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{26} \right.$.

Tổng quãng đường bay ngắn nhất khi và chỉ khi hai vectơ $\overset{\rightarrow}{u}$ và $\overset{\rightarrow}{v}$ cùng hướng

$\left. \Rightarrow\dfrac{2 - a}{a + 1} = \dfrac{1 - b}{b - 2} = \dfrac{1}{3} \right.$

$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{2 - a}{a + 1} = \dfrac{1}{3}} \\ {\dfrac{1 - b}{b - 2} = \dfrac{1}{3}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {6 - 3a = a + 1} \\ {3 - 3b = b - 2} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {4a = 5} \\ {4b = 5} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = \dfrac{5}{4} = 1,25} \\ {b = \dfrac{5}{4} = 1,25} \end{array} \right. \right.$

Vậy $a = 1,25$, $b = 1,25$ và $c = 0$.

Giá trị của biểu thức $S = 2a + 4b + c = 2.1,25 + 4.1,25 + 0 = 2,5 + 5 = 7,5$.

Đáp án cần điền là: 7,5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.