Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)

Câu hỏi số 955844:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) và hai điểm \(A\left( {3;0;0} \right)\), \(B\left( { - 1;1;0} \right)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(MA + 3MB\).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:955844

Phương pháp giải

Đưa về phương pháp đại số và sử dụng bất đẳng thức

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là điểm cần tìm.

Vì \(M \in \left( S \right) \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MA = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}} \\MB = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} \end{array} \right.\) nên

\(\begin{array}{l}MA + 3MB = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}} + 3\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2} + {z^2} + 8\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 8} + 3\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\sqrt {{{\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}} + 3\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {MC + MB} \right) \ge 3BC,\,\,C\left( {\dfrac{1}{3};0;0} \right)\end{array}\)

Ta có \(BC = \sqrt {{{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \dfrac{5}{3}\) nên \(MA + 3MB \ge 5\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}M = BC \cap \left( S \right)\\\overrightarrow {CM} = k\overrightarrow {CB} \,\,\left( {k > 0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{{3 - 8\sqrt 6 }}{{25}};\dfrac{{4 + 6\sqrt 6 }}{{25}};0} \right)\).

Vậy \({\left( {MA + 3MB} \right)_{\min }} = 5\).

Đáp án cần điền là: 5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.