Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10.

Câu hỏi số 955912:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bện SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SC=10\sqrt{5}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Tính khoảng cách d giữa BD và MN

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:955912

Phương pháp giải

Chuyển khoảng cách cần tính về $d(BD, (MNP))$ với P là trung điểm BC, sau đó dùng tỉ số khoảng cách để đưa về khoảng cách với điểm A.

Xác định khoảng cách từ A là đường cao AK của tam giác vuông MAE (với $E = AC \cap NP$), tính AK bằng hệ thức lượng.

Giải chi tiết

Gọi P là trung điểm BC và $E=NP\cap AC$, suy ra $PN\parallel BD$ nên $BD\parallel \left( MNP \right)$.

Do đó

$d\left( BD;MN \right)=d\left( BD;\left( MNP \right) \right)=d\left( O;\left( MNP \right) \right)=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( MNP \right) \right)$.

Kẻ $AK\bot ME\,\,\left( 1 \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\NP//BD \Rightarrow NP \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow NP \bot AK\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AK\bot \left( MNP \right)$. Khi đó $d\left( A;\left( MNP \right) \right)=AK.$

Tính được $SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=10\sqrt{3}$ $\Rightarrow MA=5\sqrt{3};\,\,AE=\dfrac{3}{4}AC=\dfrac{15\sqrt{2}}{2}$

Tam giác vuông $MAE$, có $AK=\dfrac{MA.AE}{\sqrt{M{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}}=3\sqrt{5}$

Vậy $d\left( BD;MN \right)=\dfrac{1}{3}AK=\sqrt{5}$.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.